Mathison's Blog

CCF CCSP2023游记

Fri, 27 Oct 2023 00:00:00 GMT

CCF CCSP2023游记#

第八届CCSP全国总决赛 2023年10月25-26日沈阳

序#

自从5年前11月11日的NOIP2018原地退役之后，没再打过OI了
上了大学，没有进唐计的机会，转到了计算机之后也已经失去了打ACM的机会
打了三次CSP认证，编程竞赛打了两届蓝桥杯省赛+国赛，一次水赛（以及两次青云杯）
多多少少有些出于功利目的，保研加分，综测加分，课外学分……
总觉得缺了些过去打OI时候的味道
如今保研事宜尘埃落定，有幸获得了CCSP2023参赛机会
应该是自NOIP2018后第一次参加官方的程序设计竞赛
不知能否找回属于OIer的那份热忱

当初报名的时候以为只是一个单纯的算法比赛，仔细看看赛制之后才发现别有洞天

3算法题+2系统题，12小时超长战线，早9点打到晚9点，IOI赛制的NOIP-黑客松

之后得知被选入参赛名单是因为老师觉得大四写系统题会写的好hhh
不过能和校队ACMer一起比赛已经很荣幸了

由于之前搞软工课设，没拿出太多时间准备，只研究了一道历年系统题/性能题，根据性能实时评分还是挺新奇的（虽然青云杯也有）

题目#

T1 装修（decorate）#

有 M(≤104)M(\leq10^4)M(≤104) 种素材 a1,a2,⋯ ,aMa_1,a_2,\cdots,a_Ma1,a2,⋯,aM ，这些素材共分为两种：

直接素材：可花费 ci(≤104)c_i(\leq10^4)ci(≤104) 元直接购买
间接素材：只能用其它素材合成（合成无费用），一种素材最多只能作为一种素材的子素材，且保证不会成环。

此外，有两种特殊的素材获取方式：

共有 P(≤5)P(\leq5)P(≤5) 个邻居，可用 sis_isi 换取邻居的 rir_iri 素材（单向）（交换无费用）
共有 Q(≤5)Q(\leq5)Q(≤5) 个礼包，礼包价格为 wiw_iwi，内含 k(≤M)k(\leq M)k(≤M) 种素材 g1,g2,⋯ ,gkg_1,g_2,\cdots,g_kg1,g2,⋯,gk

需求为 N(≤100)(≤M)N(\leq100)(\leq M)N(≤100)(≤M) 种素材 b1,b2,⋯ ,bNb_1,b_2,\cdots,b_Nb1,b2,⋯,bN

求满足需求的最小花费

T2 摸球（ball）#

有 NNN 种颜色的球各 aaa 个，每种颜色的球编号 1→a1\to a1→a。

另有 MMM 种颜色的球各 bbb 个，编号 1→b1 \to b1→b 。

求选取 kkk 个不同颜色的球，其中任何编号出现次数都不超过 sss 的方案数（结果 mod 998244353\bmod 998244353mod998244353）

1≤N,M,a,b,k≤103,s∈1,21 \leq N , M , a , b , k \leq 10^3 ,\\ \\ s\in{1,2}1≤N,M,a,b,k≤103,s∈1,2 。

T3 次元波动平衡（surge）#

一个长为 NNN 的数列 (ai)\left(a_i\right)(ai)，要求选取其中最多 KKK 个位置减去一个常数 DDD，使得到新的数列 (ai′)\left(a_i^{\prime}\right)(ai′) 的最大子段和最小，求这个最小值，即

min⁡(max⁡1≤l≤r≤N∑i=lrai′)\min \left( \max_{1\leq l\leq r\leq N}\sum_{i=l}^r a^{\prime}_i\right) min(1≤l≤r≤Nmaxi=l∑rai′)

1≤K≤N≤5×105,1≤D≤109,−109≤ai≤1091 \leq K \leq N \leq 5\times 10^5 ,\\ \\ \\ 1 \leq D \leq 10^9 ,\\ \\ −10^9 \leq a_i \leq 10^91≤K≤N≤5×105,1≤D≤109,−109≤ai≤109

（T4是一道编译系统题；T5是系统实现题，非性能题）

（题解部分见文末）

比赛心路历程#

T1第一感觉是贪心，可以直接根据收益大小交换/买礼包

T2感觉正解dp，可以用组合数拿部分分

T3第一眼单调队列，k个修改似乎要线段树

T4编译系统题，果断放弃

T5给好了框架，像是程序填空，似乎是能写的

先打了T1的贪心，拿了60

后来换了几种贪法，骗到70，后无果，故搁置

T2先写了s=1的情况，拿到50

T3没想到什么好方法，暴搜了个10分

反复看榜，一直在200名左右徘徊

又回去搞T1，又交了10多发，依然是70……

打了T2的s=2,a=b的部分分，拿到60

午饭时间看T5，好像能搞

去看T5，题面很长，但是意外地很简单

下午的时间依次拿下T5的第一二三子任务，拿到70

最后两小时封榜，当前总分210，银牌线230

去搞T2的剩下的40分里的10分，一个组合数没想到直接A掉

忽然意识到T1的P和Q都只有5，1<<10只有1024，这不铁二进制枚举嘛

迅速重构A掉T1~~（早干啥去了*1）~~

最后20分钟发现第三题的“最小化最大值”

这不铁二分答案嘛~~（早干啥去了*2）~~

不过还是没想好怎样check，不断向前减D复杂度是O(n2)O\left(n^2\right)O(n2)，最多也就20分的样子

最终定格100+100+10+0+70=280分

后记#

比赛刚结束稍微有些遗憾，感觉摸不到银牌线了。

不过终归是打完了12h的比赛，本科期间能参加一次这样的比赛，和各校大佬们同场竞技，结果如何已经不重要了。

赛后和本校的三位佬简单复盘了一下，发现T5的后30分其实很简单，被题面吓退了~~（早干啥去了*3）~~

上次感受这种氛围还是在高二OI机房里听佬们讨论题，颇为感慨

感觉赛中思路有些混乱，有些本来静下心来很容易想到的东西没有迅速反应到，反倒是比赛最终时刻出现了可观的思路，赛中还是心不够静，而且缺少“一定要把这题A掉”的决心。

第二天上午拿着CNCC参会证白嫖地铁票白嫖景点门票hhh

下午CCSP颁奖典礼，银线刚刚好280，惊险收获银牌（总算是没有重蹈NOIP2018的覆辙）

当然，也再次深刻地感受到了和佬们思维上和格局上的差距。

差距归差距，尽全力发挥到最好，战胜过去的自己，已经很满足了。

不虚此行，也算是为OI生涯画上圆满的句号了。

（emmmmm说不定大四下天梯赛还去凑热闹？

Mathison 编辑于2023年10月27日

题解#

佬，您还真的翻到这里想看我的题解嘛？

我这么菜就算了叭

请移步我的大神队友韦神的博客叭

test

Sat, 29 Jul 2023 00:00:00 GMT

This is %

min⁡(max⁡1≤l≤r≤N∑i=lrai′)\min \left( \max_{1\leq l\leq r\leq N}\sum_{i=l}^r a^{\prime}_i\right) min(1≤l≤r≤Nmaxi=l∑rai′)

1≤K≤N≤5×105,1≤D≤109,−109≤ai≤1091 \leq K \leq N \leq 5\times 10^5 ,\\ \\ \\ 1 \leq D \leq 10^9 ,\\ \\ −10^9 \leq a_i \leq 10^91≤K≤N≤5×105,1≤D≤109,−109≤ai≤109

（T4是一道编译系统题；T5是系统实现题，非性能题）

基础算法模版

Fri, 28 Jul 2023 00:00:00 GMT

基础算法模板#

雄关漫道真如铁，而今迈步从头越

1 基础算法#

1.1 归并排序#

稳定的排序，很好敲（比起快排我更喜欢归并）

应用：求逆序对

Note

模板速记

核心思想：分治后合并两个有序区间
时间复杂度：O(nlog⁡n)O(n\log n)O(nlogn)
常见扩展：合并时统计逆序对贡献

1
void msort(int a[],int l,int r) {
2
    if(l>=r) return;
3
    int mid=(l+r)>>1;
4
    msort(a,l,mid);
5
    msort(a,mid+1,r);
6
    int i=l,j=mid+1,k=l;
7
    while(i<=mid&&j<=r) b[k++]=(a[i]>a[j])?a[j++]:a[i++];
8
    while(i<=mid) b[k++]=a[i++];
9
    while(j<=r) b[k++]=a[j++];
10
    for(int i=l;i<=r;i++) a[i]=b[i];
11
    return;
12
}

1.2 快速排序#

应用？有什么应用呢？

1
void qsort(int a[],int l,int r) {
2
    if(l>=r) return;
3
    int i=l-1,j=r+1,x=a[l+r>>1];
4
    while(i<j) {
5
        do i++; while(a[i]<x);
6
        do j--; while(a[j]>x);
7
        if(i<j) swap(a[i],a[j]);
8
    }
9
    qsort(a,l,j);
10
    qsort(a,j+1,r);
11
}

1.3 二分#

吕优学长的稳健的二分模板

应用：二分答案，适用于单调的问题，通常是二分答案后进行贪心可行性验证。

Tip

二分最容易错的不是模板，而是 check(mid) 的方向。写模板前先确定答案区间中“可行/不可行”的分界线。

整数

1
int bsch(int L,int R) {
2
    int ans=L;
3
  while(L<=R) {
4
        int mid=(L+R)>>1;
5
        if(check(mid)) ans=mid,L=mid+1;
6
        else R=mid-1; //可根据题意与上句交换
7
    }
8
    return ans;
9
}

浮点数

1
const double eps=1e-6;
2
double bfsch(int L,int R) {
3
  while(R-L>eps) {
4
        double mid=(L+R)/2;
5
        if(check(mid)) L=mid;
6
        else R=mid; //可根据题意与上句交换
7
    }
8
    return L;
9
}

1.4 前缀和 & 差分#

前缀和：离线问题，单点修改 -> 区间查询

一维前缀和：
- 记录：s[i]=s[i-1]+a[i]
- 查询[l,r]：s[r]-s[l-1]
二维前缀和：
- 记录：s[i][j]=s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1]+a[i][j]
- 查询[(x1,y1),(x2,y2)]：s[x2][y2]-s[x1-1][y2]-s[x2][y1-1]+s[x1-1][y1-1]

差分：离线问题，区间修改 -> 单点查询

一维差分：
- 区间[l,r]修改：d[l]+=k, d[r+1]-=k
- 计算前缀和：d[i]+=d[i-1]
二维差分：
- 区间[(x1,y1),(x2,y2)]修改：d[x1][y1]+=k, d[x2+1][y1]-=k, d[x1][y2+1]-=k, d[x2+1][y2+1]+=k
- 计算前缀和：d[i][j]+=d[i-1][j]+d[i][j-1]-d[i-1][j-1]

1.5 有序数组定位#

1.5.1 lower_bound & upper_bound#

函数原型：

1
typedef ForwardIterator FI;
2
// 在[first,last)区域内查找不小于 val 的元素
3
FI lower_bound(FI first, FI last, const T& val);
4
// 在[first,last)区域内查找第一个不符合 cmp 规则的元素
5
FI lower_bound(FI first, FI last, const T& val, Compare cmp);
6
// 在[first,last)区域内查找第一个大于 val 的元素。
7
FI upper_bound(FI first, FI last, const T& val);
8
// 在[first,last)区域内查找第一个不符合 cmp 规则的元素
9
FI upper_bound(FI first, FI last, const T& val, Compare cmp);
10
// 在[first,last)区域内查找所有等于 val 的元素
11
pair<FI,FI> equal_range (FI first, FI last, const T& val[, Compare cmp]);

应用举例：

1
//vector<int>
2
sort(v.begin(),v.end());
3
lower_bound(v.begin(),v.end(),x)-v.begin();   // 第一个大于等于x的元素位置
4
upper_bound(v.begin(),v.end(),x)-v.begin();   // 第一个大于x的元素位置
5
lower_bound(v.begin(),v.end(),x)-v.begin()-1;   // 最后一个小于x的元素位置
6
upper_bound(v.begin(),v.end(),x)-v.begin()-1;   // 最后一个小于等于x的元素位置
7

8
sort(v.begin(),v.end(),greater<int>());
9
lower_bound(v.begin(),v.end(),x,greater<int>())-v.begin();     // 第一个小于等于x的元素位置
10
upper_bound(v.begin(),v.end(),x,greater<int>())-v.begin();     // 第一个小于x的元素位置
11
lower_bound(v.begin(),v.end(),x,greater<int>())-v.begin()-1;   // 最后一个大于x的元素位置
12
upper_bound(v.begin(),v.end(),x,greater<int>())-v.begin()-1;   // 最后一个大于等于x的元素位置
13

14
//数组
15
sort(a,a+n);
16
lower_bound(a,a+n,x)-a;   // 第一个大于等于x的元素位置
17
upper_bound(a,a+n,x)-a;   // 第一个大于x的元素位置
18
lower_bound(a,a+n,x)-a-1;   // 最后一个小于x的元素位置
19
upper_bound(a,a+n,x)-a-1;   // 最后一个小于等于x的元素位置
20

21
bool cmp(int a,int b) {return a>b;}
22
sort(a,a+n,cmp);
23
lower_bound(a,a+n,x,cmp)-a;   // 第一个小于等于x的元素位置
24
upper_bound(a,a+n,x,cmp)-a;   // 第一个小于x的元素位置
25
lower_bound(a,a+n,x,cmp)-a-1;   // 最后一个大于x的元素位置
26
upper_bound(a,a+n,x,cmp)-a-1;   // 最后一个大于等于x的元素位置

【例题】

给定一个按照升序排列的长度为 nnn 的整数数组，以及 mmm 个查询。

对于每个查询，返回一个元素 xxx 的起始位置和终止位置（位置从 0 开始计数）。

如果数组中不存在该元素，则返回 -1 -1。

法一：二分

1
#include<bits/stdc++.h>
2
using namespace std;
3
const int N=100010;
4
int n,m,a[N];
5
int SL(int x) { //左界
6
    int l=0,r=n-1,ret=1e9+7;
7
    while(l<=r) {
8
        int mid=l+r>>1;
9
        if(a[mid]>=x) ret=min(ret,mid),r=mid-1;
10
        else l=mid+1;
11
    }
12
    return ret;
13
}
14
int SR(int x) { //右界
15
    int l=0,r=n-1,ret=-1;
16
    while(l<=r) {
17
        int mid=l+r>>1;
18
        if(a[mid]<=x) ret=max(ret,mid),l=mid+1;
19
        else r=mid-1;
20
    }
21
    return r;
22
}
23
int main() {
24
    scanf("%d%d",&n,&m);
25
    for(int k=0;k<n;k++) scanf("%d",a+k);
26
    while(m--) {
27
        int x;
28
        scanf("%d",&x);
29
        int L=SL(x),R=SR(x);
30
        if(a[L]==x) printf("%d %d\n",L,R);
31
        else printf("-1 -1\n");
32
    }
33
    return 0;
34
}

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法二：lowerbound & upperbound 定位

1
#include<bits/stdc++.h>
2
using namespace std;
3
int n,m,a[100010];
4
int main() {
5
    scanf("%d%d",&n,&m);
6
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",a+i);
7
    while(m--) {
8
        int l,r,x;
9
        scanf("%d",&x);
10
        l=lower_bound(a+1,a+n+1,x)-a;
11
        r=upper_bound(a+1,a+n+1,x)-a-1;
12
        if(l>r) l=r=0;
13
        printf("%d %d\n",l-1,r-1);
14
    }
15
    return 0;
16
}

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1.5.2 离散化#

不改变数据相对大小的前提下将稀疏的数据映射为连续的数据后存储。

【例题】

nnn 个修改：x c：a[x]+=c
mmm 个查询：l r：查询 ∑[l,r]ai\sum_{[l,r]}a_i∑[l,r]ai
1≤n,m≤105,−109≤x≤109,−109≤l≤r≤109,1≤n,m≤10^5,\\ −10^9≤x≤10^9,\\ −10^9≤l≤r≤10^9,1≤n,m≤105,−109≤x≤109,−109≤l≤r≤109,

1
#include<bits/stdc++.h>
2
using namespace std;
3
const int N=1e5+10;
4
int n,m,s[N];
5
vector<pair<int,int> > a;
6
vector<int> q;
7
int main() {
8
    scanf("%d%d",&n,&m);
9
    while(n--) {
10
        int x,c;
11
        scanf("%d%d",&x,&c);
12
        a.push_back({x,c});
13
        q.push_back(x);
14
    }
15
    q.push_back(-0x3f3f3f); q.push_back(0x3f3f3f);    // 前后界防越界【养成好习惯】
16
    sort(q.begin(),q.end());              // 排序
17
    q.erase(unique(q.begin(),q.end()),q.end());      // 去重【记住这个用法！】
18
    for(auto p:a) {
19
        int i=lower_bound(q.begin(),q.end(),p.first)-q.begin();
20
        s[i]+=p.second;
21
    }
22
    for(int i=1;i<q.size();i++) s[i]+=s[i-1];
23

24
    while(m--) {
25
        int l,r;
26
        scanf("%d%d",&l,&r);
27
        l=lower_bound(q.begin(),q.end(),l)-q.begin();    // l:第一个大于等于l的位置
28
        r=upper_bound(q.begin(),q.end(),r)-q.begin()-1;    // r:最后一个小于等于r的位置
29
        printf("%d\n",s[r]-s[l-1]);
30
    }
31
}

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1.6 位运算#

1.6.1 数字二进制位数#

1
int len(int x) {  //十进制同理
2
    int ret=0;
3
    do ret++,x>>=1; while(x);
4
    return ret;
5
}

1.6.2 数字二进制中’1’的个数#

1
int lowbit(int x) {return x&-x;}
2
int count1(int x) {
3
    int ret=0;
4
    while(x) ret++,x-=lowbit(x);
5
    return ret;
6
}

1.6.3 二进制枚举#

1
for(int i=0;i<1<<n;i++) {     // 枚举n位01串
2
    for(int j=0;j<n;j++) {
3
        if(check(i>>j&1)) {    // 检验i的第j位数字
4
            /* … */
5
        }
6
    }
7
}

1.7 高精度#

高精度运算合集

1.8 KMP#

nxt数组的含义：nxt[i] 表示 b[0~i-1] 最长公共前后缀长度（不包括本身）

1
char a[N],b[N]; //b[]为模式串
2
int lena,lenb,nxt[N];
3
void pre() {
4
    for(int i=1,j=0;i<lenb;i++) {
5
        while(j&&b[i]!=b[j]) j=nxt[j];
6
        if(b[i]==b[j]) j++;
7
        nxt[i+1]=j;  // nxt[i+1]对应b[i]
8
    }
9
}
10
void kmp() {
11
    for(int i=0,j=0;i<lena;i++) {
12
        while(j&&a[i]!=b[j]) j=nxt[j];
13
        if(a[i]==b[j]) j++;
14
        if(j==lenb) printf("%d\n",i+1-lenb+1); // 匹配位置
15
    }
16
}

1.9 Hash#

1.9.1 拉链法#

1
const int N=1e6+3;
2
int h[N],e[N],nxt[N],tot;
3
void insert(int k) {
4
    int x=(k%N+N)%N;
5
    e[++tot]=k;
6
    nxt[tot]=h[x];
7
    h[x]=tot;
8
}
9
bool find(int k) {
10
    int x=(k%N+N)%N;
11
    for(int i=h[x];i;i=nxt[i])
12
        if(e[i]==k) return 1;
13
    return 0;
14
}

1.9.2 开放寻址法（线性探查法）#

1
const int N=1e6+3;
2
int h[N]={-1};
3

4
int find(int k) { // 若k在哈希表中，返回k的下标；否则返回k应该插入的位置
5
  int x=(k%N+N)%N;
6
    while(h[x]!=-1&&h[x]!=k)  (x+=1)%=N;
7
  return x;
8
}

1.9.3 字符串Hash#

ELFHash

1
unsigned ELFHash(const char *str) {
2
  unsigned h=0,g;
3
  while(*str) {
4
    h=(h<<4)+*str++;
5
    if(g=h&0xf0000000) h^=g>>24;
6
    h&=~g;
7
  }
8
  return h;
9
}

1.10 快速乘快速幂#

1
ll ksc(ll a,ll k) { // 快速乘
2
    ll ret=0;
3
    for(;k;(a<<=1)%=mod,k>>=1) if(k&1) (ret+=a)%=mod;
4
    return ret;
5
}
6
ll ksm(ll a,ll k) {  // 快速幂
7
    ll ret=1;
8
    for(;k;(a*=a)%=mod,k>>=1) if(k&1) (ret*=a)%=mod;
9
    return ret;
10
}

2 基础数据结构#

2.1 单链表#

1
int head,e[N],nxt[N],tot;
2
void insert(int x) { // 头插法
3
    e[tot]=x,
4
    nxt[tot]=head,
5
    head=tot;
6
}
7
void remove() {  // 将头结点删除，需要保证头结点存在
8
    head = nxt[head];
9
}

【例】实现单链表及其操作：

H x，表示向链表头插入一个数 xxx。
D k，表示删除第 kkk 个插入的数后面的数（当 kkk 为 000 时，表示删除头结点）。
I k x，表示在第 kkk 个插入的数后面插入一个数 xxx（此操作中 kkk 均大于 000）。

1
#include<bits/stdc++.h>
2
using namespace std;
3
const int N=100010;
4
int m,k,x;
5
int e[N],nxt[N],head,tot;
6
void insert(int i,int x) {
7
    e[++tot]=x;
8
    if(!i) nxt[tot]=head, head=tot;
9
    else nxt[tot]=nxt[i], nxt[i]=tot;
10
}
11
void remove(int i) {
12
    if(!i) head=nxt[head];
13
    else nxt[i]=nxt[nxt[i]];
14
}
15
int main() {
16
    scanf("%d",&m);
17
    while(m--) {
18
        char c[1];
19
        scanf("%s",c);
20
        if(c[0]=='H') { scanf("%d",&x); insert(0,x); }
21
        else if(c[0]=='D') { scanf("%d",&k); remove(k); }
22
        else if(c[0]=='I') { scanf("%d%d",&k,&x); insert(k,x); }
23
    }
24
    for(int i=head;i;i=nxt[i]) printf("%d ",e[i]);
25
    return 0;
26
}

展开收起

2.2 双链表#

1
int e[N],l[N],r[N],tot;
2
const R=N-1;
3
void init() {  // 初始化
4
    r[0]=R,l[R]=0;
5
}
6
void insert(int k, int w) {  // 在节点k的右边插入一个数w
7
    e[++tot]=x;
8
    l[tot]=k,r[tot]=r[k];
9
    l[r[k]]=tot,r[k]=tot;
10
}
11
void remove(int k) {  // 删除节点k
12
    l[r[k]]=l[k];
13
    r[l[k]]=r[k];
14
}

【例】实现双链表及其操作：

L x，表示在链表的最左端插入数 xxx。
R x，表示在链表的最右端插入数 xxx。
D k，表示将第 kkk 个插入的数删除。
IL k x，表示在第 kkk 个插入的数左侧插入一个数。
IR k x，表示在第 kkk 个插入的数右侧插入一个数。

1
#include<bits/stdc++.h>
2
using namespace std;
3
const int N=100011;
4
const int R=N-10;
5
int m,e[N],l[N],r[N],tot;
6
void insert(int k,int x) {
7
    e[++tot]=x;
8
    l[tot]=k,r[tot]=r[k];
9
    l[r[k]]=tot,r[k]=tot;
10
}
11
void remove(int k) {
12
    l[r[k]]=l[k];
13
    r[l[k]]=r[k];
14
}
15
int main() {
16
    scanf("%d",&m);
17
    r[0]=R,l[R]=0;
18
    while(m--) {
19
        int k,x;
20
        string c;
21
        cin>>c;
22
        if(c=="L") { scanf("%d",&x); insert(0,x); }
23
        else if(c=="R") { scanf("%d",&x); insert(l[R],x); }
24
        else if(c=="D") { scanf("%d",&k); remove(k); }
25
        else if(c=="IL") { scanf("%d%d",&k,&x); insert(l[k],x); }
26
        else { scanf("%d%d",&k,&x); insert(k,x); }
27
    }
28
    for(int i=r[0];i!=R;i=r[i]) printf("%d ",e[i]);
29
    return 0;
30
}

展开收起

2.3 栈#

2.3.1 模拟栈#

1
int st[N],t=0;
2
bool empty() { return !t; }
3
int size() { return t; }
4
void push(int x) { st[++t]=x; }
5
int pop() {
6
    if(empty()) return -1;
7
    return st[t--];
8
}
9
int top() {
10
    if(empty()) return -1;
11
    return st[t];
12
}
13
void clear() { t=0; }

2.3.2 STL stack#

1
stack<int> s;
2
s.empty();  // 是否为空
3
s.size();  // 返回元素个数
4
s.top();  // 返回栈顶元素
5
s.push(x);  // 压入x
6
s.pop();  // 弹出栈顶（注意STL容器的pop是动作，无返回值）
7
s.clear();   // 不存在！
8
stack<int>().swap(s); // 等同于所谓's.clear()'

2.3.3* 单调栈#

适用问题：找出每个数两侧离它最近的比它大/小的数

1
while(!s.empty()&&check(s.top(),i)) s.pop();
2
s.push(i);

【例】接雨水

给定 nnn 个非负整数表示每个宽度为 111 的柱子的高度图。

计算按此排列的柱子，下雨之后能接多少雨水。

接雨水-示意图

法一：单调栈

1
int ans=0,n=h.size();
2
stack<int> s;
3
for(int i=0;i<n;i++) {
4
    while(!s.empty()&&h[i]>h[s.top()]) {
5
        int t=s.top(); s.pop();
6
        if(s.empty()) break;
7
        int j=s.top();
8
        ans+=(i-j-1)*(min(h[j],h[i])-h[t]);
9
    }
10
    s.push(i);
11
}
12
printf("%d",ans);

法二：dp

1
const int N=2e4+10;
2
int ans=0,n=h.size();
3
int lm[N]={0},rm[N]={0};
4
for(int i=1;i<=n;i++) {
5
    lm[i]=max(lm[i-1],h[i-1]);
6
  rm[n-i+1]=max(rm[n-i+2],h[n-i]);
7
}
8
for(int i=1;i<=n;i++) ans+=min(lm[i],rm[i])-h[i-1];
9
printf("%d",ans);

法三：双指针

1
int i=0,j=h.size()-1,ans=0;
2
int l=h[i],r=h[j];
3
while(i<j) {
4
    if(h[i]<h[j])
5
        ans+=l-h[i++],l=max(l,h[i]);
6
    else
7
        ans+=r-h[j--],r=max(r,h[j]);
8
}
9
printf("%d",ans);

2.4 队列#

2.4.1 模拟队列#

普通队列（t=-1写法）

1
int q[N],h=0,t=-1;
2
bool empty() { return t<h; }
3
int size() { return t-h+1; }
4
void push(int x) { q[++t]=x; }
5
int pop() {
6
    if(empty()) return -1;
7
    return q[h++];
8
}
9
int front() {
10
    if(empty()) return -1;
11
    return q[h];
12
}
13
void clear() { h=0,t=-1; }

循环队列

1
int q[N],h=0,t=0;
2
bool empty() { return h==t; }
3
int size() { return (t+N-h)%N; }
4
void push(int x) {
5
    q[t++]=x;
6
    if(t==N) t=0;
7
}
8
int pop() {
9
    if(empty()) return -1;
10
    int ret=q[h++];
11
    if(h==N) h=0;
12
    return ret;
13
}
14
int front() {
15
    if(empty()) return -1;
16
    return q[h];
17
}
18
void clear() { h=t=0; }

双端队列

1
int dq[N<<1],h=N,t=N-1;
2
bool empty() { return t<h; }
3
int size() { return t-h+1; }
4
void push_front(int x) { dq[--h]=x; }
5
void push_back(int x) { dq[++t]=x; }
6
int pop_front() {
7
    if(empty()) return -1;
8
    return dq[h++];
9
}
10
int pop_back() {
11
    if(empty()) return -1;
12
    return dq[t--];
13
}
14
int front() {
15
    if(empty()) return -1;
16
    return q[h];
17
}
18
int back() {
19
    if(empty()) return -1;
20
    return q[t];
21
}
22
int clear() { h=N,t=N-1; }

2.4.2 STL queue/deque#

1
queue<int> q;
2
q.empty();  // 是否为空
3
q.size();  // 返回元素个数
4
q.front();  // 返回栈顶元素
5
q.push(x);  // 入队x
6
q.pop();  // 队首出队（注意STL容器的pop是动作，无返回值）
7
q.clear();   // 不存在！
8
queue<int>().swap(q); // 等同于所谓'q.clear()'
9

10
deque<int> dq;  // 双端队列
11
dq.empty();
12
dq.size();
13
dq.front();  dq.back();
14
dq.push_front(); dq.push_back();
15
dq.pop_front(); dq.pop_back();
16
deque<int>().swap(dq);

2.4.3 单调队列#

本质：如果一个选手比你小还比你强，你就可以退役了。

应用：滑动窗口问题，区间最值问题，单调队列优化dp

1
while(!dq.empty()&&check_out(dq.front()) dq.pop_front();
2
while(!dq.empty()&&check_in(dq.back(),i)) dq.pop_back();
3
dq.push_back(i);

【例题】长度不超过 kkk 的最大连续子区间和

1
#include<bits/stdc++.h>
2
using namespace std;
3
const int N=100010;
4
int n,k,a[N],s[N],ans=-0x3f3f3f;
5
deque<int> q;
6
int main() {
7
    scanf("%d%d",&n,&k);
8
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",s+i),s[i]+=s[i-1];
9
    q.pop_back(0);
10
    for(int i=1;i<=n;i++) {
11
        while(!q.empty()&&i-q.front()>k) q.pop_front();
12
        while(!q.empty()&&s[q.back()]>s[i]) q.pop_back();
13
        q.push_back(i);
14
        ans=max(ans,s[i]-s[q.front()]);
15
    }
16
    printf("%d",ans);
17
}

展开收起

2.4.4 优先队列#

1
priority_queue<int> q;  // 大根堆
2
priority_queue<int,vector<int>,greater<int> > q2;  // 小根堆
3
q.top();  // 队头
4
q.empty();   // 是否为空
5
q.size();   // 返回元素个数
6
q.pop();  // 队头出队
7
priority_queue<int>().swap(q);  // q.clear()

应用详见 2.5.2 STL priority_queue

2.5 堆#

2.5.1 模拟堆#

1
// h[N]存储堆中的值, h[1]是堆顶
2
int h[N],tot;
3
void down(int x) {  // 下沉
4
    int t=x;
5
    if((x<<1)<=n && h[x<<1]<h[t]) t=x<<1;
6
    if((x<<1|1)<=n && h[x<<1|1]<h[t]) t=x<<1|1;
7
    if(x!=t) swap(h[x],h[t]),down(t);
8
}
9
void up(int x) {  // 上浮
10
    while((x>>1)&&h[x]<h[x>>1]) {
11
        swap(h[x],h[x>>1]);
12
        x>>=1;
13
    }
14
}
15
void init() {  // 重整堆
16
    for(int i=tot>>1;i;i--) down(i);
17
}
18
int top() { return h[1]; }
19
void push(int x) {  // 压入堆
20
    h[++tot]=x;
21
    up(tot);
22
}
23
int pop() {    // 弹出堆顶
24
    if(!tot) return -1;
25
    int ret=h[1];
26
    h[1]=h[tot--];
27
    down(1);
28
    return ret;
29
}
30
void clear() { tot=0; }

2.5.2 STL priority_queue#

详细定义见 2.4.4 优先队列

应用：堆排序，Dijkstra，Prim

2.5.3 堆排序#

1
#include<bits/stdc++.h>
2
using namespace std;
3
const int N=100010;
4
int n,m,h[N];
5
void down(int x) {
6
    int t=x;
7
    if((x<<1)<=n&&h[x<<1]<h[t]) t=x<<1;
8
    if((x<<1|1)<=n&&h[x<<1|1]<h[t]) t=x<<1|1;
9
    if(x^t) swap(h[x],h[t]),down(t);
10
}
11
int main() {
12
    scanf("%d%d",&n,&m);
13
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",h+i);
14
    for(int i=n>>1;i;i--) down(i);
15
    while(m--) printf("%d ",h[1]),h[1]=h[n--],down(1);
16
    return 0;
17
}

展开收起

2.6 并查集#

初始化与合并操作

1
void init() {
2
    for(int i=1;i<N;i++) fa[i]=i /*,size[i]=1,d[i]=0*/;
3
}
4
void Union(int x,int y) {
5
    int a=find(x),b=find(y);
6
    // size[b]+=size[a]  // 同时维护并查集规模
7
    fa[a]=b;
8
}

朴素并查集

1
int find(int x) {
2
    while(fa[x]) x=fa[x];
3
    retun x;
4
}

带路径压缩

1
int find(int x) {
2
    return x==fa[x]?x:(fa[x]=find(fa[x]));
3
}

按秩合并（没什么用）
路径压缩的同时保留到祖宗节点的距离信息

1
int find(int x) {
2
    if(x==fa[x]) return x;
3
    else {
4
    int p=find(fa[x]);
5
        d[x]+=d[fa[x]];
6
        fa[x]=p;
7
    }
8
  return fa[x];
9
}
10
void init() {
11
    for(int i=1;i<N;i++) fa[i]=i,d[i]=0;
12
}
13
void Union(int x,int y) {
14
    int a=find(x),b=find(y);
15
    fa[a]=b;
16
    d[a]=1;
17
}

2.7 邻接表（前向星）#

1
const int N=1010;
2
const int M=N*N<<1;
3
int head[N],tot;
4
int edg[M],ver[M],nxt[M];
5
void add(int x,int y,int z) {
6
    ver[++tot]=y;
7
    edg[tot]=z;
8
    nxt[tot]=head[x];
9
    head[x]=tot;
10
}
11
// 遍历
12
void dfs(int x) {
13
  for(int i=head[x];i;i=nxt[i]) {
14
      int y=ver[i],z=edg[i];
15
        /* */
16
    }
17
}

也有vector写法：

1
const int N=1010;
2
vector<pair<int,int> > e[N];
3
void add(int x,int y,int z) {
4
    e[x].push({y,z});
5
}
6
void dfs(int x) {
7
  for(auto i:e[x]) {
8
        int y=i.first,z=i.second;
9
        /* */
10
    }
11
}

2.8 Trie字典树#

1
#include<bits/stdc++.h>
2
using namespace std;
3
const int N=100010,M=1<<7;
4
int m,t[N][M],cnt[N],tot;
5
char opt[1],s[N];
6
int Insert() {
7
    int p=0;
8
    for(int i=0;s[i];i++) {
9
        int idx=s[i]-'a';
10
        if(!t[p][idx]) t[p][idx]=++tot;
11
        p=t[p][idx];
12
    }
13
    return cnt[p]++;
14
}
15
int Query() {
16
    int p=0;
17
    for(int i=0;s[i];i++) {
18
        int idx=s[i]-'a';
19
        p=t[p][idx];
20
        if(!p) return 0;
21
    }
22
    return cnt[p];
23
}
24
int main() {
25
    scanf("%d",&m);
26
    while(m--) {
27
        scanf("%s%s",opt,s);
28
        switch(opt[0]) {
29
            case 'I': Insert();break;
30
            case 'Q': printf("%d\n",Query());break;
31
        }
32
    }
33
}

展开收起

2.9 哈夫曼树（Huffman）#

下面先放个运用Huffman树思想的例子

1
#include<bits/stdc++.h>
2
using namespace std;
3
int n,ans,t;
4
priority_queue<int,vector<int>,greater<int> > q;
5

6
int main() {
7
    scanf("%d",&n);
8
    for(int i=0;i<n;i++) {
9
        scanf("%d",&t);
10
        q.push(t);
11
    }
12
    for(int i=1;i<n;i++) {
13
        int a=q.top(); q.pop();
14
        int b=q.top(); q.pop();
15
        ans+=a+b; q.push(a+b);
16
    }
17
    printf("%d",ans);
18
}

展开收起

2.10* ST表#

RMQ (Range Maximum/Minimum Query) 问题，即区间最值问题

ST表（Sparse Table）解决离线查询区间最值

Note

适用场景

静态数组，多次区间最值查询
预处理 O(nlog⁡n)O(n\log n)O(nlogn)，查询 O(1)O(1)O(1)
不支持在线修改，若有修改通常考虑线段树

定义 f(i,j)f(i,j)f(i,j) 为以第 iii 个数为起点，长度为 2j2^j2j 的一段区间中的最大值，则显然状态转移为

f(i,j)=max⁡(f(i,j−1),f(i+2j−1,j−1)))f(i,j)=\max{( f(i,j-1),f(i+2^{j-1},j-1))) } f(i,j)=max(f(i,j−1),f(i+2j−1,j−1)))

查询同理，只需查询两段（两段中间可能有重叠部分）

1
void pre(int n) {
2
    int t=log2(n)+1;
3
    for(int j=1;j<t;j++)
4
        for(int i=1;i<=n-(1<<j)+1;i++)
5
            f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i+(1<<(j-1))][j-1]);
6
}
7
int query(int l,int r) {
8
    int k=log2(r-l+1);
9
    return max(f[l][k],f[r-(1<<k)+1][k]);
10
}
11
int main() {
12
    scanf("%d%d",&n,&m);
13
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&f[i][0]);
14
    pre(n);
15
    while(m--) {
16
        int l,r;
17
        scanf("%d%d",&l,&r);
18
        printf("%d\n",query(l,r));
19
    }
20
    return 0;
21
}

3 基础搜索#

3.1 DFS#

全排列（搜索回溯）

1
#include<bits/stdc++.h>
2
using namespace std;
3
const int N=1<<5;
4
int n,reg[N],vis[N];
5
void print() {
6
    for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",reg[i]);
7
    printf("\n");
8
}
9
void dfs(int x) {
10
    if(x>n) { print();return; }
11
    for(int i=1;i<=n;i++)
12
        if(!vis[i]) {
13
            vis[i]=1,reg[x]=i;
14
            dfs(x+1);
15
            vis[i]=0;
16
        }
17
}
18
int main() {
19
    scanf("%d",&n);
20
    dfs(1);
21
}

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八皇后

1
#include<bits/stdc++.h>
2
using namespace std;
3
const int N=10;
4
int n,reg[N];
5
bool row[N],le1[N],le2[N<<1];
6
void print() {
7
    for(int i=1;i<=n;i++,puts(""))
8
        for(int j=1;j<=n;j++)
9
            printf("%c",reg[i]==j?'Q':'.');
10
    puts("");
11
}
12
void dfs(int i) {
13
    if(i>n) { print();return; }
14
    for(int j=1;j<=n;j++) {
15
        if(row[j]||le1[i-j+n]||le2[i+j]) continue;
16
        reg[i]=j;
17
        row[j]=le1[i-j+n]=le2[i+j]=1;
18
        dfs(i+1);
19
        row[j]=le1[i-j+n]=le2[i+j]=0;
20
    }
21
}
22
int main() {
23
    scanf("%d",&n);
24
    dfs(1);
25
}

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3.2 BFS#

迷宫问题

平面的遍历一般使用方向向量（注意是四联通还是八联通）

1
#include<bits/stdc++.h>
2
using namespace std;
3
const int N=110;
4

5
// 四联通方向向量
6
const int dx[4]={0,0,1,-1};
7
const int dy[4]={1,-1,0,0};
8

9
int n,m,mp[N][N],dis[N][N];
10
queue<pair<int,int> > q;
11

12
//判断边界
13
bool inBound(int x,int y) { return x>0&&x<=n&&y>0&&y<=m; }
14

15
void bfs(int sx,int sy) {
16
    dis[sx][sy]=0;
17
    q.push({sx,sy});
18
    while(!q.empty()) {
19
        pair<int,int> p=q.front(); q.pop();
20
        int x=p.first,y=p.second;
21
        for(int i=0;i<4;i++) {
22
            int xx=x+dx[i],yy=y+dy[i];
23
            if(!inBound(xx,yy)||mp[xx][yy]) continue;
24
            if(dis[xx][yy]>dis[x][y]+1) {
25
                dis[xx][yy]=dis[x][y]+1;
26
                q.push({xx,yy});
27
            }
28
            if(xx==ex&&yy==ey) return;
29
        }
30
    }
31
}
32
int main() {
33
    scanf("%d%d",&n,&m);
34
    memset(dis,0x3f3f3f,sizeof dis);
35
    for(int i=1;i<=n;i++)
36
        for(int j=1;j<=m;j++)
37
            scanf("%d",&mp[i][j]);
38
    bfs(1,1);
39
    printf("%d",dis[ex][ey]);
40
    return 0;
41
}

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3.3 常用搜索剪枝方法#

可行性剪枝：判断继续搜索是否能得到答案，如果不能，就返回
排除等效冗余：在搜索的几个分支中具有完全相同的效果时，选择其中一个走即可
最优性剪枝：当前搜索到的解已经超过最优解，就返回
顺序剪枝：优化搜索顺序，更快得到解
记忆化：记录每个状态的搜索结果，在后续搜索过程中检索这个状态，可直接使用

4 基础图论#

4.1 拓扑排序#

1
queue<int> q;
2
void topsort() {
3
    while(!q.empty()) {
4
        int x=q.front(); q.pop();
5
        reg[++cnt]=x;
6
        for(int i=head[x];i;i=nxt[i]) {
7
            int y=ver[i];
8
            if(!--deg[y]) q.push(y);
9
        }
10
    }
11
}
12
int main() {
13
    scanf("%d%d",&n,&m);
14
    for(int i=1;i<=m;i++) {
15
        int x,y;
16
        scanf("%d%d",&x,&y);
17
        add(x,y); deg[y]++;
18
    }
19
    for(int i=1;i<=n;i++)
20
        if(!deg[i]) q.push(i);
21
    topsort();
22
    if(cnt==n)
23
        for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",reg[i]);
24
    else printf("-1");
25
}

4.2 Dijkstra 单源最短路#

1
priority_queue<PII> q;
2
void dijkstra(int st) {
3
    q.push({0,st});
4
    dis[st]=0;
5
    while(!q.empty()) {
6
        auto p=q.top(); q.pop();
7
        int x=p.second;
8
        if(vis[x]) continue;
9
        vis[x]=1;
10
        for(int i=head[x];i;i=nxt[i]) {
11
            int y=ver[i],z=edg[i];
12
            if(dis[y]>dis[x]+z) {
13
                dis[y]=dis[x]+z;
14
                q.push({-dis[y],y});
15
            }
16
        }
17
    }
18
}

4.3 SPFA#

4.3.1 最短路#

1
queue<int> q;
2
void spfa(int st) {
3
    q.push(st);
4
    vis[st]=1,dis[st]=0;
5
    while(!q.empty()) {
6
        int x=q.front(); q.pop();
7
        vis[x]=0;
8
        for(int i=head[x];i;i=nxt[i]) {
9
            int y=ver[i],z=edg[i];
10
            if(dis[y]>dis[x]+z) {
11
                dis[y]=dis[x]+z;
12
                if(!vis[y]) {
13
                    vis[y]=1;
14
                    q.push(y);
15
                }
16
            }
17
        }
18
    }
19
}

4.3.2 负环问题#

将所有点压入队列，跑spfa时记录路径长度

超过总点数 nnn 则一定在环上跑了不止一次，即存在负环

1
void spfa() {
2
    for(int i=1;i<=n;i++)
3
        vis[i]=1,q.push(i);
4
    while(!q.empty()) {
5
        int x=q.front(); q.pop();
6
        vis[x]=0;
7
        for(int i=head[x];i;i=nxt[i]) {
8
            int y=ver[i],z=edg[i];
9
            if(dis[y]>dis[x]+z) {
10
                dis[y]=dis[x]+z;
11
                cnt[y]=cnt[x]+1;
12
                if(cnt[y]>=n) {
13
                    printf("Yes");
14
                    exit(0);
15
                }
16
                if(!vis[y]) {
17
                    vis[y]=1;
18
                    q.push(y);
19
                }
20
            }
21
        }
22
    }
23
}

4.3.3 Bellman-Ford 边数限制最短路#

1
int n,m,k,dis[N],pre[N];
2
struct Edge{int x,y,z;} e[M];
3
void Bellman_Ford() {
4
    memset(dis,0x3f,sizeof dis);
5
    dis[1]=0;
6
    for(int i=1;i<=k;i++) {
7
        memcpy(pre,dis,sizeof dis);
8
        for(int j=1;j<=m;j++) {
9
            int x=e[j].x,y=e[j].y,z=e[j].z;
10
            dis[y]=min(dis[y],pre[x]+z);
11
        }
12
    }
13
}
14
int main() {
15
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);  // k为最短路边数限制
16
    for(int i=1;i<=m;i++)
17
        scanf("%d%d%d",&e[i].x,&e[i].y,&e[i].z);
18
    Bellman_Ford();
19
}

4.4 Floyd 最短路#

1
void Floyd() {
2
    for(int k=1;k<=n;k++)
3
        for(int i=1;i<=n;i++)
4
            for(int j=1;j<=n;j++)
5
                dis[i][j]=min(dis[i][j],dis[i][k]+dis[k][j]);
6
}
7
int main() {
8
    scanf("%d%d",&n,&m);
9
    memset(dis,0x3f3f3f,sizeof dis);
10
    for(int i=1;i<=n;i++) dis[i][i]=0;
11
    while(m--) {
12
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
13
        dis[x][y]=min(dis[x][y],z);    // 防止重边
14
    }
15
    Floyd();
16
}

4.5 最小生成树#

4.5.1 Kruskal#

适用于稀疏图

1
struct Node{int x,y,z;} e[N<<1];
2
bool cmp(Node a,Node b) {return a.z<b.z;}
3
int find(int x) {
4
    if(x==fa[x]) return x;
5
    return fa[x]=find(fa[x]);
6
}
7
void Kruscal() {
8
    sort(e+1,e+m+1,cmp);
9
    for(int i=1;i<=m;i++) {
10
        int x=find(e[i].x),y=find(e[i].y);
11
        if(x==y) continue;
12
        fa[x]=y; tot++; ans+=e[i].z;
13
        if(tot==n-1) return;
14
    }
15
}
16
int main() {
17
    scanf("%d%d",&n,&m);
18
    for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;
19
    for(int i=1;i<=m;i++)
20
        scanf("%d%d%d",&e[i].x,&e[i].y,&e[i].z);
21
    Kruscal();
22
    if(tot==n-1) printf("%d",ans);
23
    else puts("Error");
24
}

4.5.2 Prim#

适用于稠密图

1
priority_queue<pair<int,int> > q;
2
void prim() {
3
    memset(dis,0x3f3f3f,sizeof dis);
4
    dis[1]=0;
5
    q.push({0,1});
6
    while(!q.empty()&&cnt<n) {
7
        int d=-q.top().first;
8
        int x=q.top().second;
9
        q.pop();
10
        if(vis[x]) continue;
11
        vis[x]=1;
12
        cnt++,ans+=d;
13
        for(int i=head[x];i;i=nxt[i]) {
14
            int y=ver[i],z=edg[i];
15
            if(dis[y]>z) {
16
                dis[y]=z;
17
                q.push({-dis[y],y});
18
            }
19
        }
20
    }
21
}
22
int main() {
23
    scanf("%d%d",&n,&m);
24
    while(m--) {
25
        int x,y,z;
26
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
27
        add(x,y,z); add(y,x,z);
28
    }
29
    prim();
30
    if(cnt==n) printf("%d",ans);
31
    else puts("Illegal");
32
}

4.6 二分图#

4.6.1 二分图判定（染色法）#

1
void dfs(int x) {
2
    for(int i=head[x];i;i=nxt[i]) {
3
        int y=ver[i];
4
        if(f[y]==INF) f[y]=f[x]^1,dfs(y);
5
        else if(f[y]==f[x]) {printf("No");exit(0);}
6
    }
7
}
8
int main() {
9
    memset(f,0x3f3f3f,sizeof f);
10
    scanf("%d%d",&n,&m);
11
    for(int i=1;i<=m;i++) {
12
        int x,y;
13
        scanf("%d%d",&x,&y);
14
        add(x,y); add(y,x);
15
    }
16
    for(int i=1;i<=n;i++) if(f[i]==INF) f[i]=0,dfs(i);
17
    printf("Yes");
18
}

4.6.2 二分图匹配（匈牙利算法）#

（又名找对象算法）

寻找最大匹配

1
/* …… */
2
int find(int x) {
3
    for(int i=head[x];i;i=nxt[i]) {
4
        int y=ver[i];
5
        if(vis[y]) continue;
6
        vis[y]=1;
7
        if(!p[y]||find(p[y]))   //对方还没对象或者对方的对象有备胎
8
            return p[y]=x;      //找到了对象
9
    }
10
    return 0;
11
}
12
int main() {
13
    scanf("%d%d%d",&n1,&n2,&m);
14
    while(m--) {
15
        scanf("%d%d",&x,&y);
16
        add(x,y);
17
    }
18
    for(int i=1;i<=n1;i++) {
19
        memset(vis,0,sizeof vis);
20
        if(find(i)) ans++;
21
    }
22
    printf("%d",ans);
23
}

4.7 LCA（最近公共祖先）#

1
t=log2(n)+1;
2
void dfs(int x,int fa) {
3
    f[x][0]=fa,d[x]=d[fa]+1;
4
    for(int i=1;i<=t;i++) f[x][i]=f[f[x][i-1]][i-1];
5
    for(int i=head[x];i;i=nxt[i]) if(ver[i]^fa) dfs(ver[i],x);
6
}
7
int lca(int x,int y) {
8
    if(d[x]>d[y]) x^=y^=x^=y;
9
    for(int i=t;i>=0;i--) if(d[f[y][i]]>=d[x]) y=f[y][i];
10
    if(x==y) return x;
11
    for(int i=t;i>=0;i--) if(f[x][i]^f[y][i]) x=f[x][i],y=f[y][i];
12
    return f[x][0];
13
}

5 基础数学#

5.1 质数#

5.1.1 试除法判质数#

重要性质：素数的形式均为 6x+16x+16x+1 或 6x+56x+56x+5

1
bool isPrime(int x) {  // 加快判断
2
    if(x<=3) return x>1;
3
    else if(x%6!=1&&x%6!=5) return 0;
4
    else for(int i=5;i<=sqrt(x);i+=6)
5
        if(!(x%i)||!(x%(i+2))) return 0;
6
    return 1;
7
}
8
bool isPrime2(int x) {  // 朴素判断
9
    if(x<2) return 0;
10
    for(int i=2;i<=sqrt(x);i++)
11
        if(!(x%i)) return 0;
12
    return 1;
13
}

5.1.2 线性筛素数#

若 iii 整除 pjp_jpj，则 i×pk(k>j)i \times p_k (k>j)i×pk(k>j) 一定被 pjp_jpj 乘某个数筛掉，即

若 pj∣ip_j|ipj∣i，则对于 ∀k>j\forall k>j∀k>j, ∃λ’\exists \lambda’∃λ’ 使得 ipk=λ’pjip_k=\lambda’ p_jipk=λ’pj

Important

线性筛的关键不在“筛掉合数”，而在“每个合数只被它的最小质因子筛一次”。因此遇到 i % p[j] == 0 后必须 break。

简单证明：

ppp 数组单调递增，设 i=λpji=\lambda p_ji=λpj ，则 ipk=(λpj)pk=(λpk)pj=λ’pji p_k=(\lambda p_j) p_k=(\lambda p_k) p_j=\lambda’ p_jipk=(λpj)pk=(λpk)pj=λ’pj

1
void prime() {
2
    for(int i=2;i<=n;i++) {
3
        if(!vis[i]) p[++cnt]=i;
4
        for(int j=1;j<=cnt&&i*p[j]<=n;j++) {
5
            vis[i*p[j]]=1;
6
            if(i%p[j]==0) break;
7
        }
8
    }
9
}

5.1.3 分解质因数#

不需要筛素数，直接分解即可

1
void part(int x){
2
    for(int i=2;i<=x/i;i++){
3
        if(!(x%i)) {
4
            int cnt=0;
5
            while(!(x%i)) x/=i,cnt++;
6
            reg[++tot]={i,cnt};
7
        }
8
    }
9
    if(x>1) reg[++tot]={x,1};
10
}

5.1.4* 短区间二次筛法#

【例】给定两个整数 LLL 和 RRR，在闭区间 [L,R][L,R][L,R] 内找到距离最接近的两个相邻质数 C1C_1C1 和 C2C_2C2 和距离最远的两个相邻质数 D1D_1D1 和 D2D_2D2，若存在相同距离的其他相邻质数对，则均输出第一对。

1≤L<R≤231−11 \leq L < R \leq 2^{31}-11≤L<R≤231−1

1≤R−L≤1061 \le R-L \leq 10^61≤R−L≤106

先筛小范围质数，再筛 [L,R][L,R][L,R] 中的质数

（nnn 是合数，则 nnn 一定有 n\sqrt{n}n 以内的质因子）

1
#include<bits/stdc++.h>
2
using namespace std;
3
const int N=1e6+10;
4
typedef long long ll;
5
int n,l,r,mi,ma,p[N],pp[N],tot,cnt;
6
bool vis[N],st[N];
7
void prime(int m) {
8
    vis[1]=1;
9
    for(int i=2;i<=m;i++) {
10
        if(!vis[i]) p[++tot]=i;
11
        for(int j=1;j<=tot&&p[j]<=m/i;j++) {
12
            vis[i*p[j]]=1;
13
            if(i%p[j]==0) break;
14
        }
15
    }
16
}
17
int main() {
18
    prime(50000);
19
    while(scanf("%d%d",&l,&r)!=EOF) {
20
        memset(st,0,sizeof st);
21
        cnt=0,mi=ma=1;
22
        for(int i=1;i<=tot;i++)
23
            for(int j=max(2ll,((ll)l+p[i]-1)/p[i]);j<=(ll)r/p[i];j++)
24
                st[j*p[i]-l]=1;
25
        for(int i=0;i<=r-l;i++)
26
            if(!st[i]&&l+i>=2)
27
                pp[++cnt]=i+l;
28
        if(cnt<2) {
29
            puts("There are no adjacent primes.");
30
            continue;
31
        }
32
        for(int i=2;i<cnt;i++) {
33
            if(pp[i+1]-pp[i]<pp[mi+1]-pp[mi]) mi=i;
34
            if(pp[i+1]-pp[i]>pp[ma+1]-pp[ma]) ma=i;
35
        }
36
        printf("%d,%d are closest, %d,%d are most distant.\n",pp[mi],pp[mi+1],pp[ma],pp[ma+1]);
37
    }
38
}

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5.2 约数#

5.2.1 最大公约数 & 最小公倍数#

辗转相除法

1
int gcd(int x,int y) {return y?gcd(y,x%y):x;}
2
int lcm(int x,int y) {return (ll)x*y/gcd(x,y);}

5.2.2 约数个数#

设 xxx 有 nnn 个质因数 ai(1≤i≤n)a_i(1\leq i \leq n)ai(1≤i≤n) ，每个质因数 aia_iai 共有 kik_iki个，即 aiki∣xa_i^{k_i}|xaiki∣x ，

则对于 aia_iai，有 (ki+1)(k_i+1)(ki+1) 种类选择，即 0,1,2,⋯ ,ki0,1,2,\cdots,k_i0,1,2,⋯,ki

因此 xxx 的因数个数为 ∏i(ki+1)\prod_i{(k_i+1)}∏i(ki+1)

5.2.3 约数之和#

若 N=∏ipiciN=\prod_{i}{p_i^{c_i}}N=∏ipici
约数个数：∏i(ci+1)\prod_{i}{(c_i+1)}∏i(ci+1)
约数之和：∏i∑j=0cipij=∏ipici+1−1pi−1\prod_{i}{\sum_{j=0}^{c_i}{p_i^j}}=\prod_i{\frac{p_i^{c_i+1}-1}{p_i-1}}∏i∑j=0cipij=∏ipi−1pici+1−1

5.3 逆元#

逆元公式推导详解

当求解公式：(a/b) mod m(a/b)\bmod m(a/b)modm 时，因 bbb 可能会过大，会出现爆精度的情况，所以需变除法为乘法：

设 b−1b^{-1}b−1 是 bbb 的逆元，则有 b⋅b−1≡1(modm)b\cdot b^{-1}\equiv1\pmod mb⋅b−1≡1(modm)；

则

(a/b)≡(a/b)⋅1(modm)≡(a/b)⋅b⋅b−1(modm)≡a⋅b−1(modm)\begin{align} (a/b) &\equiv (a/b)\cdot 1 \pmod m \\\\ &\equiv (a/b)\cdot b\cdot b^{-1} \pmod m \\\\ &\equiv a\cdot b^{-1} \pmod m \end{align} (a/b)≡(a/b)⋅1(modm)≡(a/b)⋅b⋅b−1(modm)≡a⋅b−1(modm)

即 a/ba/ba/b 的模等于 a⋅b−1a\cdot b^{-1}a⋅b−1 的模；

5.3.1 费马小定理#

ap≡amod pa^p≡a\mod p ap≡amodp

也写作

ap−1≡1mod pa^{p-1}≡1\mod p ap−1≡1modp

若 ppp 是素数，且 invinvinv 与 ppp 互质，则

invp−1≡(1%p)inv^{p-1}≡(1\%p) invp−1≡(1%p)

根据逆元的定义可得

x∗inv≡1mod px*inv≡1\mod p x∗inv≡1modp

得出乘法逆元

inv=xp−2inv=x^{p-2} inv=xp−2

前提：ppp 是质数

1
const int mod=1e9+7;
2
ll ksm(ll a,ll b) {
3
    ll ret=1;
4
    for(;b;b>>=1,(a*=a)%=mod) if(b&1) (ret*=a)%=mod;
5
    return ret;
6
}
7
ll inv(ll a) {
8
  return ksm(a,mod-2);
9
}

5.3.2 扩展欧几里得#

对于不完全为 000 的非负整数 a,ba,ba,b，必然存在整数对 x,yx,yx,y ，使得 gcd(a,b)=ax+bygcd(a,b)=ax+bygcd(a,b)=ax+by。

证明：

当 b=0b=0b=0 时，gcd(a,b)=agcd(a,b)=agcd(a,b)=a，因此 x=1,y=0x=1,y=0x=1,y=0
当 b≠0b \neq 0b=0 时，gcd(a,b)=gcd(b,a%b)gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)gcd(a,b)=gcd(b,a%b)，则
ax+by=gcd(a,b)=gcd(b,a%b)=bx’+(a%b)y’=bx’+(a−b∗⌊a/b⌋)y’=ay’+b(x’−⌊a/b⌋)y’\begin{align} ax+by &= gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)=bx’+(a\%b)y’ \\\\ &= bx’+(a-b*\lfloor a/b\rfloor)y’ \\\\ &= ay’+b(x’-\lfloor a/b\rfloor)y’ \end{align} ax+by=gcd(a,b)=gcd(b,a%b)=bx’+(a%b)y’=bx’+(a−b∗⌊a/b⌋)y’=ay’+b(x’−⌊a/b⌋)y’
可得：
{x=y’y=x’−⌊a/b⌋\begin{cases} x=y’ \\\\ y=x’-\lfloor a/b\rfloor \end{cases} ⎩⎨⎧x=y’y=x’−⌊a/b⌋

1
ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) {
2
    if (!b) { x=1,y=0; return a; }
3
    else {
4
        ll r=exgcd(b,a%b,y,x);
5
        y-=x*(a/b);
6
        return r;
7
    }
8
}
9
ll inv(ll a, ll mod) {
10
    ll x,y;
11
    exgcd(a,mod,x,y);
12
    x=(x%mod+mod)%mod;
13
    return x;
14
}

5.3.3 线性求逆元#

已知一个质数MMM，求出 1→n1→n1→n 中每个数关于模 MMM 的逆元

inv[i]=(M−⌊M/i⌋)∗inv[M%i]inv[i]=(M-\lfloor{M/i}\rfloor)*inv[M\%i]%M inv[i]=(M−⌊M/i⌋)∗inv[M%i]

1
void init_inv(int n,int p) {
2
    inv[1]=1;
3
    for(int i=2;i<=n;i++) {
4
      inv[i]=(ll)(p-p/i)*inv[p%i]%p;
5
      printf("%d\n",inv[i]);
6
  }
7
}

5.4 组合数#

5.4.1 递推法#

Cnm=Cn−1m−1+Cn−1mC_n^m=C_{n-1}^{m-1}+C_{n-1}^{m} Cnm=Cn−1m−1+Cn−1m

1
void init(int n) {
2
    for(int i=0;i<=n;i++)
3
    for(int j=0;j<=i;j++)
4
      C[i][j]=j?(C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%mod:1;
5
}

5.4.2 公式法#

Cnm=n!m!(n−m)!C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!} Cnm=m!(n−m)!n!

线性预处理阶乘和阶乘的逆元

1
const int mod=1e9+7,N=1e5+10;
2
typedef long long ll;
3
ll fac[N]={1ll},inv[N]={1ll};
4
ll ksm(ll a,int k) {
5
    ll res=1ll;
6
    for(;k;(a*=a)%=mod,k>>=1) if(k&1) (res*=a)%=mod;
7
    return res;
8
}
9
void init(int n) {
10
    for(int i=1;i<=n;i++) {
11
        fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
12
        inv[i]=inv[i-1]*ksm(i,mod-2)%mod;
13
    }
14
}
15
ll C(ll a,ll b) {
16
    return (ll)fac[a]*inv[b]%mod*inv[a-b]%mod;
17
}

5.4.3 Lucas定理#

C(n,m)=C(n/p,m/p)∗C(n%p,m%p)C(n,m)=C(n/p,m/p)∗C(n\%p,m\%p) C(n,m)=C(n/p,m/p)∗C(n%p,m%p)

适用于 n,mn,mn,m 较大时求组合数

1
ll ksm(ll a,int k) {
2
    ll res=1ll;
3
    for(;k;(a*=a)%=mod,k>>=1) if(k&1) (res*=a)%=mod;
4
    return res;
5
}
6
ll C(ll a,ll b) {
7
    if(a<b) return 0;
8
    if(a<mod&&b<mod) return (fac[a]*inv[b]%mod)*(inv[a-b]%mod)%mod;
9
    else return C(a/mod,b/mod)*C(a%mod,b%mod)%mod;
10
}
11
void pre() {
12
    for(int i=1;i<=1e5;i++) {
13
        fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
14
        inv[i]=inv[i-1]*ksm(i,mod-2)%mod;
15
    }
16
}
17
int main() {
18
    scanf("%d",&m);
19
    while(m--) {
20
        scanf("%lld%lld%d",&a,&b,&mod);
21
        pre();
22
        printf("%lld\n",C(a,b));
23
    }
24
}

5.4.4 质因数分解法#

n!n!n! 中质因数 ppp 的个数，即统计 ppp 的出现次数，再统计 p2p^2p2 的出现次数，依次类推，即

cnt(n,p)=⌊np⌋+⌊np2⌋+⌊np3⌋+⋯=⌊np⌋+⌊n/pp⌋+⌊n/p2p⌋+⋯\begin{align} \text{cnt}(n,p) &=\lfloor \frac{n}{p} \rfloor + \lfloor \frac{n}{p^2} \rfloor + \lfloor \frac{n}{p^3} \rfloor + \cdots \\\\ &= \lfloor \frac{n}{p} \rfloor + \lfloor \frac{n/p}{p} \rfloor + \lfloor \frac{n/p^2}{p} \rfloor + \cdots \end{align} \\\\ cnt(n,p)=⌊pn⌋+⌊p2n⌋+⌊p3n⌋+⋯=⌊pn⌋+⌊pn/p⌋+⌊pn/p2⌋+⋯Cab=a!b!(a−b)!=∏ipicnt(a,pi)−cnt(b,pi)−cnt(a−b,pi)C^b_a=\frac{a!}{b!(a−b)!} = \prod_i{p_i^{\text{cnt}(a,p_i)-\text{cnt}(b,p_i)-\text{cnt}(a-b,p_i)}} Cab=b!(a−b)!a!=i∏picnt(a,pi)−cnt(b,pi)−cnt(a−b,pi)

1
#include<bits/stdc++.h>
2
using namespace std;
3
const int N=5010;
4
int a,b,tot,p[N],cnt[N];
5
bool vis[N];
6
vector<int> mul(vector<int> a,int b) { // 高精乘
7
    vector<int> ret;
8
    int t=0;
9
    for(int i=0;i<a.size();i++) {
10
        t+=a[i]*b;
11
        ret.push_back(t%10);
12
        t/=10;
13
    }
14
    while(t) ret.push_back(t%10),t/=10;
15
    while(ret.size()>1&&ret.back()==0) ret.pop_back();
16
    return ret;
17
}
18
void prime(int n) {     // 线性筛素数
19
    for(int i=2;i<=n;i++) {
20
        if(!vis[i]) p[++tot]=i;
21
        for(int j=1;j<=tot&&p[j]<=n/i;j++) {
22
            vis[p[j]*i]=1;
23
            if(!(i%p[j])) break;
24
        }
25
    }
26
}
27
int cal(int n,int p) {     // 计算cnt(n,p)
28
    int res=0;
29
    while(n) res+=n/p,n/=p;
30
    return res;
31
}
32
int main() {
33
    scanf("%d%d",&a,&b);
34
    prime(a);
35
    for(int i=1;i<=tot;i++)
36
        cnt[i]=cal(a,p[i])-cal(a-b,p[i])-cal(b,p[i]);
37
    vector<int> res;
38
    res.push_back(1);
39
    for(int i=1;i<=tot;i++)
40
        for(int j=0;j<cnt[i];j++)
41
            res=mul(res,p[i]);
42
    for(int i=res.size()-1;i>=0;i--) printf("%d",res[i]);
43
}

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5.5 欧拉函数#

5.5.1 单点求欧拉函数#

1∼N1∼N1∼N 中与 NNN 互质的数的个数被称为欧拉函数，记为 φ(N)\varphi(N)φ(N)。
若在算数基本定理中，N=p1a1p2a2⋯pmamN=p^{a_1}_1p^{a_2}_2 \cdots p^{a_m}_mN=p1a1p2a2⋯pmam则：

φ(N)=N×p1−1p1×p2−1p2×⋯×pm−1pm\varphi(N) = N\times\frac{p_1−1}{p_1}\times \frac{p_2−1}{p_2}\times\cdots\times\frac{p_m−1}{p_m} φ(N)=N×p1p1−1×p2p2−1×⋯×pmpm−1

1
#include<bits/stdc++.h>
2
using namespace std;
3
int n,tmp;
4
int part(int x) {
5
    int res=x;
6
    for(int i=2;i<=x/i;i++) {
7
        if(x%i==0) (res/=i)*=i-1;
8
        while(x%i==0) x/=i;
9
    }
10
    if(x>1)  (res/=x)*=x-1;
11
    return res;
12
}
13
int main() {
14
    scanf("%d",&n);
15
    while(n--) {
16
        scanf("%d",&tmp);
17
        printf("%d\n",part(tmp));
18
    }
19
    return 0;
20
}

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5.5.2* 筛法求欧拉函数#

1
void eular() {
2
    for(int i=2;i<=n;i++) {
3
        if(!vis[i]) p[++tot]=i,e[i]=i-1;
4
        for(int j=1;p[j]<=n/i;j++) {
5
            int t=i*p[j];
6
            vis[t]=1;
7
            if(!(i%p[j])) {
8
                e[t]=e[i]*p[j];
9
                break;
10
            }
11
            e[t]=e[i]*(p[j]-1);
12
        }
13
    }
14
}

5.6 高斯消元#

列主元法消元

每次选择一列中绝对值最大的元素作为主元，保证消元过程收敛

1
#include<bits/stdc++.h>
2
using namespace std;
3
const int N=110;
4
const double eps=1e-8;
5
int n;
6
double a[N][N];
7
int gauss() {
8
    int c,r;
9
    for(c=0,r=0;c<n;c++,r++) {
10
        //选列主元
11
        int t=r;
12
        for(int i=r;i<n;i++)
13
            if(fabs(a[i][c])>fabs(a[t][c])) t=i;
14
        if(fabs(a[t][c])<eps) {r--;continue;}
15
        //交换主元所在行
16
        for(int i=c;i<=n;i++) swap(a[t][i],a[r][i]);
17
        //单位化
18
        double s=a[r][c]; a[r][c]=1.00;
19
        for(int i=c+1;i<=n;i++) a[r][i]/=s;
20
        //消元
21
        for(int i=r+1;i<n;i++)
22
            for(int j=c+1;j<=n;j++)
23
                a[i][j]-=a[r][j]*a[i][c];
24
    }
25
    if(r<n) {
26
        for(int i=r;i<n;i++)
27
            if(fabs(a[i][n])>eps) return -1; //无解
28
        return 0; //无穷多组解
29
    }
30
    //回代
31
    for(int i=n-1;i>=0;i--)
32
        for(int j=i+1;j<n;j++)
33
            a[i][n]-=a[i][j]*a[j][n];
34
    return 1; //唯一解
35
}
36
int main() {
37
    scanf("%d",&n);
38
    for(int i=0;i<n;i++)
39
        for(int j=0;j<=n;j++)
40
            scanf("%lf",&a[i][j]);
41
    int t=gauss();
42
    if(t==-1) puts("No solution");
43
    else if(!t) puts("Infinite group solutions");
44
    else {
45
        for(int i=0;i<n;i++) {
46
            if(fabs(a[i][n])<eps) a[i][n]=0;
47
            printf("%.2lf\n",a[i][n]);
48
        }
49
    }
50
    return 0;
51
}

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6 贪心#

6.1 区间问题#

6.1.1 区间选点#

选多少个点使得每个区间至少有一个点：右端点排序

1
#include<bits/stdc++.h>
2
using namespace std;
3
const int N=100010;
4
int n,ans,minn=-1e9-10;
5
struct Line {int l,r;} r[N];
6
bool cmp(Line a,Line b) {return a.r<b.r;}
7
int main() {
8
    scanf("%d",&n);
9
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d",&r[i].l,&r[i].r);
10
    sort(r+1,r+n+1,cmp);
11
    for(int i=1;i<=n;i++)
12
        if(minn<r[i].l)
13
            ans++,minn=r[i].r;
14
    printf("%d\n",ans);
15
    return 0;
16
}

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6.1.2 最多不相交区间数量#

选择尽量多的不相交的区间：右端点排序

代码同 6.1.1

6.1.3 区间覆盖#

选择尽量少的区间，将指定线段区间完全覆盖：左端点排序

1
#include<bits/stdc++.h>
2
using namespace std;
3
const int N=100010;
4
int n,st,ed,ans;
5
bool f;
6
struct Line {int l,r;} a[N];
7
bool cmp(Line a,Line b) {return a.l<b.l;}
8
int main() {
9
    scanf("%d%d%d",&st,&ed,&n);
10
    for(int i=1;i<=n;i++)
11
        scanf("%d%d",&a[i].l,&a[i].r);
12
    sort(a+1,a+n+1,cmp);
13
    for(int i=1;i<=n;i++) {
14
        int j,max_r=-2e9-10;
15
        for(j=i;j<=n&&a[j].l<=st;j++)
16
            max_r=max(max_r,a[j].r);
17
        if(max_r<st) {ans=-1;break;}
18
        ans++;
19
        if(max_r>=ed) {f=1;break;}
20
        st=max_r;
21
        i=j-1;
22
    }
23
    printf("%d\n",f?ans:-1);
24
    return 0;
25
}

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6.1.4 区间分组#

将所给区间分为尽量少的若干组，组内区间不相交：左端点排序

每次向空余位置最靠左的分组内放区间

1
#include<bits/stdc++.h>
2
using namespace std;
3
const int N=100010;
4
int n,m;
5
struct Line {int l,r;} line[N];
6
priority_queue<int,vector<int>,greater<int> > q;
7
bool cmp(Line a,Line b) {return a.l<b.l;}
8
int main() {
9
    scanf("%d",&n);
10
    for(int i=1;i<=n;i++)
11
        scanf("%d%d",&line[i].l,&line[i].r);
12
    sort(line+1,line+n+1,cmp);
13
    for(int i=1;i<=n;i++) {
14
        if(q.empty()||line[i].l<=q.top()) q.push(line[i].r);
15
        else {
16
            q.pop();
17
            q.push(line[i].r);
18
        }
19
    }
20
    printf("%d",q.size());
21
}

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也可使用差分寻找区间重叠最厚处即为分组数

1
#include<bits/stdc++.h>
2
using namespace std;
3
map<int,int> d;
4
int n,s,ans;
5
int main() {
6
    scanf("%d",&n);
7
    while(n--) {
8
        int l,r;
9
        scanf("%d%d",&l,&r);
10
        d[l]++; d[r+1]--;
11
    }
12
    for(auto i:d) {
13
        s+=i.second;
14
        ans=max(ans,s);
15
    }
16
    printf("%d",ans);
17
    return 0;
18
}

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以及一些奇技淫巧？

1
#include<bits/stdc++.h>
2
using namespace std;
3
const int N=1e5+5;
4
int n,a[N],b[N],j=1,ans;
5
int main() {
6
    scanf("%d",&n);
7
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d",a+i,b+i);
8
    sort(a+1,a+n+1); sort(b+1,b+n+1);
9
    for(int i=1;i<=n;i++)
10
        (a[i]<=b[j])?ans++:j++;
11
    printf("%d\n",ans);
12
}

6.2 排序不等式#

逆序 ⋅\cdot⋅ 正序 ≤\leq≤ 乱序 ⋅\cdot⋅ 正序 ≤\leq≤ 正序 ⋅\cdot⋅ 正序

排队问题，最短时间优先原理，快者优先

【例】nnn 个人排队打水，每个人的打水时间为 aia_iai，求最小等待时间之和。

1
#include<bits/stdc++.h>
2
long long n,ans,a[100010];
3
int main() {
4
    scanf("%lld",&n);
5
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",a+i);
6
    sort(a+1,a+n+1);
7
    for(int i=1;i<=n;i++) a[i]+=a[i-1],ans+=a[i-1];
8
    printf("%lld",ans);
9
}

6.3 二分答案+贪心验证#

当题目中有使最小值最大或使最大值最小的意图时，考虑二分答案

二分答案，将答案进行可行性验证（多数情况为贪心验证）

二分答案的使用条件：答案要随着决策的增减而单调增/减

【例】跳石头

1
#include<bits/stdc++.h>
2
using namespace std;
3
int l,n,m,d[50010],ans;
4
bool check(int x) {
5
  int t=0,cnt=0;
6
  for(int i=1;i<=n+1;i++) {
7
    if(d[i]-t<x) cnt++;
8
    else t=d[i];
9
  }
10
  return cnt<=m;
11
}
12
int main() {
13
  scanf("%d%d%d",&l,&n,&m);
14
  for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",d+i);
15
  d[n+1]=l;
16
  int L=1,R=l;
17
  while(L<=R) {
18
    int mid=(L+R)>>1;
19
    if(check(mid)) ans=mid,L=mid+1;
20
    else R=mid-1;
21
  }
22
  printf("%d",ans);
23
  return 0;
24
}

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7 动态规划（dp）#

8 背包问题#

背包问题作为动态规划的一类重要问题，单独展开。

8.1 01背包#

NNN 件物品，每件物品 iii 体积为 cic_ici，价值为wiw_iwi
一个容量为 MMM 的背包，物品总体积不超过背包容量，且总价值最大

朴素解法：

1
#include<bits/stdc++.h>
2
using namespace std;
3
const int N=1010,M=1010;
4
int n,m,c[N],w[N],f[N][M];
5
int main() {
6
    scanf("%d%d",&n,&m);
7
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d",c+i,w+i);
8
    for(int i=1;i<=n;i++)
9
        for(int j=0;j<=m;j++) {
10
            f[i][j]=f[i-1][j];
11
            if(j>=c[i]) f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-c[i]]+w[i]);
12
        }
13
    printf("%d",f[n][m]);
14
}

改变遍历顺序，滚动数组空间优化

1
#include<bits/stdc++.h>
2
using namespace std;
3
const int M=1010;
4
int n,m,f[M];
5
int main() {
6
    scanf("%d%d",&n,&m);
7
    for(int i=1;i<=n;i++) {
8
        int c,w;
9
        scanf("%d%d",&c,&w);
10
        for(int j=m;j>=c;j--)
11
            f[j]=max(f[j],f[j-c]+w);
12
    }
13
    printf("%d",f[m]);
14
}

8.2 完全背包#

NNN 种物品，每种物品 iii 体积为 cic_ici，价值为wiw_iwi，每种物品有无限件
一个容量为 MMM 的背包，物品总体积不超过背包容量，且总价值最大

与01背包相比，每件物品可以装无限次，因此只需改变一下转移方程。

朴素解法：

1
#include<bits/stdc++.h>
2
using namespace std;
3
const int N=1010,M=1010;
4
int n,m,c[N],w[N],f[N][M];
5
int main() {
6
    scanf("%d%d",&n,&m);
7
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d",c+i,w+i);
8
    for(int i=1;i<=n;i++)
9
        for(int j=0;j<=m;j++) {
10
            f[i][j]=f[i-1][j];
11
            if(j>=c[i]) f[i][j]=max(f[i][j],f[i][j-c[i]]+w[i]);  // 与01背包的差别
12
        }
13
    printf("%d",f[n][m]);
14
}

滚动数组优化与01背包的差别在于体积的遍历顺序：

1
#include<bits/stdc++.h>
2
using namespace std;
3
const int M=1010;
4
int n,m,f[M];
5
int main() {
6
    scanf("%d%d",&n,&m);
7
    for(int i=1;i<=n;i++) {
8
        int c,w;
9
        scanf("%d%d",&c,&w);
10
        for(int j=c;j<=m;j++)  // 与01背包的差别
11
            f[j]=max(f[j],f[j-c]+w);
12
    }
13
    printf("%d",f[m]);
14
}

8.3 多重背包#

NNN 种物品，每种物品 iii 体积为 cic_ici，价值为wiw_iwi，每种物品有 sis_isi 件
一个容量为 MMM 的背包，物品总体积不超过背包容量，且总价值最大

8.3.1 朴素解法#

遍历每件物品，对每件物品进行决策

1
#include<bits/stdc++.h>
2
using namespace std;
3
const int M=101;
4
int n,m,f[M];
5
int main() {
6
    scanf("%d%d",&n,&m);
7
    for(int i=1;i<=n;i++) {
8
        int c,w,s;
9
        scanf("%d%d%d",&c,&w,&s);
10
        for(int k=1;k<=s;k++)
11
            for(int j=m;j>=c;j--)
12
                f[j]=max(f[j],f[j-c]+w);
13
    }
14
    printf("%d",f[m]);
15
}

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8.3.2 二进制拆分#

我们对于每个相同种类的物品都进行了一次遍历，而实际上这是冗余的。

我们可以将每种物品的个数进行二进制拆分，这样即可囊括每种物品选择 0→si0 \to s_i0→si 件的情况

最后将问题转化为01背包

1
#include<bits/stdc++.h>
2
using namespace std;
3
const int M=2010;
4
int n,m,f[M];
5
int main() {
6
    scanf("%d%d",&n,&m);
7
    for(int i=1;i<=n;i++) {
8
        int c,w,s,k=1;
9
        scanf("%d%d%d",&c,&w,&s);
10
        for(int k=1;s>=k;s-=k,k<<=1)
11
            for(int j=m;j>=c*k;j--)
12
                f[j]=max(f[j],f[j-k*c]+k*w);
13
        if(s)
14
            for(int j=m;j>=s*c;j--)
15
                f[j]=max(f[j],f[j-s*c]+s*w);
16
    }
17
    printf("%d",f[m]);
18
}

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8.4 混合背包#

NNN 类物品，每类物品 iii 体积为 cic_ici，价值为wiw_iwi，以及一个属性 sis_isi

si=−1s_i=-1si=−1 表示该类物品仅有一件

si=0s_i=0si=0 表示该类物品有无限件

si>0s_i>0si>0 表示该类物品有 sis_isi 件

一个容量为 MMM 的背包，物品总体积不超过背包容量，且总价值最大

1
#include<bits/stdc++.h>
2
using namespace std;
3
const int N=10010,M=1010;
4
int n,m,f[M];
5
int main() {
6
    scanf("%d%d",&n,&m);
7
    for(int i=1;i<=n;i++) {
8
        int c,w,s;
9
        scanf("%d%d%d",&c,&w,&s);
10
        if(!s) {        // 完全背包
11
            for(int j=c;j<=m;j++)
12
                f[j]=max(f[j],f[j-c]+w);
13
        } else if(s<0||s==1) {  // 01背包
14
            for(int j=m;j>=c;j--)
15
                f[j]=max(f[j],f[j-c]+w);
16
        } else {        // 多重背包
17
            for(int k=1;s>=k;s-=k,k<<=1)
18
                for(int j=m;j>=c*k;j--)
19
                    f[j]=max(f[j],f[j-k*c]+k*w);
20
            if(s)
21
                for(int j=m;j>=s*c;j--)
22
                    f[j]=max(f[j],f[j-s*c]+s*w);
23
        }
24
    }
25
    printf("%d",f[m]);
26
}

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8.5 分组背包#

NNN 组物品，每组中有 sis_isi 件
第 iii 组中的物品 jjj 体积为 cijc_{ij}cij，价值为wijw_{ij}wij，同一组内的物品只能选一个
一个容量为 MMM 的背包，物品总体积不超过背包容量，且总价值最大

对于一个组内的物品进行枚举，关键在于组内只能选择一个

因此需要注意枚举背包体积和组内决策的内外层关系

若内外层枚举顺序反置，则失去了组内约束，变成了普通01背包

1
#include<bits/stdc++.h>
2
using namespace std;
3
const int N=101;
4
int n,m,c[N][N],w[N][N],s[N],f[N];
5
int main() {
6
    scanf("%d%d",&n,&m);
7
    for(int i=1;i<=n;i++) {
8
        scanf("%d",s+i);
9
        for(int j=1;j<=s[i];j++)
10
            scanf("%d%d",&c[i][j],&w[i][j]);
11
    }
12
    for(int i=1;i<=n;i++)
13
        for(int j=m;j>=0;j--)
14
            for(int k=1;k<=s[i];k++)
15
                if(j>=c[i][k])
16
                    f[j]=max(f[j],f[j-c[i][k]]+w[i][k]);
17
    printf("%d",f[m]);
18
}

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8.6 二维费用背包#

NNN 件物品，每件物品 iii 体积为 cic_ici，重量为wiw_iwi，价值为 viv_ivi
一个容积为 VVV，最大承重为 MMM 的背包，使得总价值最大

1
#include<bits/stdc++.h>
2
using namespace std;
3
int n,m1,m2,c1,c2,w,f[110][110];
4
int main() {
5
    scanf("%d%d%d",&n,&m1,&m2);
6
    for(int i=1;i<=n;i++) {
7
        scanf("%d%d%d",&c1,&c2,&w);
8
        for(int j=m1;j>=c1;j--)
9
            for(int k=m2;k>=c2;k--)
10
                f[j][k]=max(f[j][k],f[j-c1][k-c2]+w);
11
    }
12
    printf("%d",f[m1][m2]);
13
}

8.7 有依赖的背包#

NNN 件物品，每件物品 iii 体积为 cic_ici，重量为wiw_iwi，价值为 viv_ivi，其依赖物品编号为 pip_ipi
即只有购置了 pip_ipi 物品，才能购置 iii 物品（ pip_ipi 是 iii 的前驱）
一个容量为 MMM 的背包，物品总体积不超过背包容量，且总价值最大

树形结构，使用记忆化搜索更新

1
#include<bits/stdc++.h>
2
using namespace std;
3
const int N=110;
4
int n,m,r,f[N][N],c[N],w[N];
5
vector<int> e[N];
6
void dp(int x) {
7
    for(int i=c[x];i<=m;i++) f[x][i]=w[x];  // 必须买自己，才能买其附属物品
8
    for(int y:e[x]) {
9
        dp(y);
10
        for(int j=m;j>=c[x];j--)    // 枚举装入后的体积
11
            for(int k=0;k<=j-c[x];k++)    // 枚举新装入的子物品体积
12
                f[x][j]=max(f[x][j],f[x][j-k]+f[y][k]);
13
    }
14
}
15
int main() {
16
    scanf("%d%d",&n,&m);
17
    for(int i=1;i<=n;i++) {
18
        int p;
19
        scanf("%d%d%d",c+i,w+i,&p);
20
        if(p==-1) r=i;
21
        else e[p].push_back(i);
22
    }
23
    dp(r);
24
    printf("%d",f[r][m]);
25
}

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实验九键盘扫描及数码管显示实验

Sun, 27 Nov 2022 00:00:00 GMT

实验九键盘扫描及数码管显示实验#

1. 实验内容#

基础部分

编写程序，实现如下功能：初始时数码管无显示；第一次按下键盘时，在最右侧数码管显示对应的十六进制数字；以后每次按下键盘，则将当前显示的数字全部向左移动一位（最左侧的数字移出数码管），并将刚刚键入的数字显示在数码管的最右侧。

扩展部分

编写程序，将所按键对应的数字（0~E）按要求显示在指定的数码管上：

初始时，6 位 LED 数码管上无显示；
第一次键入的数字显示在最右端的数码管上；之后每次键入新数字，其显示位置向左移动一位；（只显示最后键入的数字）
若当前显示的数字已处于数码管的最左端，此时再键入数字，则将其显示在最左端的数码管上；之后键入数字的显示位置逐次向右移动；
如此往复，直至按下数字键 F，程序退出

2. 实验原理#

3. 连线#

机箱连线

4. 实验代码#

基础部分：#

1
P8255A EQU 0600H
2
P8255B EQU 0602H
3
P8255C EQU 0604H
4
P8255MODE EQU 0606H
5
DATA SEGMENT
6
    TAB  DB 3FH,06H,5BH,4FH        ; 共阴极数码管0~F
7
         DB 66H,6DH,7DH,07H
8
         DB 7FH,6FH,77H,7CH
9
         DB 39H,5EH,79H,71H
10
    T1   DB 00H                    ; T1~T6 对应从右到左六个数码管
11
    T2   DB 00H
12
    T3   DB 00H
13
    T4   DB 00H
14
    T5   DB 00H
15
    T6   DB 00H
16
DATA ENDS
17

18
CODE SEGMENT
19
    ASSUME CS:CODE, DS:DATA
20
START:
21
    MOV AX, DATA
22
    MOV DS, AX
23

24
    MOV AX, 00H
25
    LEA BX, TAB
26

27
    MOV DX, P8255MODE
28
    MOV AL, 81H
29
    OUT DX, AL
30

31
MAIN:
32
    MOV AL, 11110111B              ; 从X4到X1判断是否有按键按下
33
    MOV CX, 4
34
CHECK_ROW:
35
    MOV DX, P8255A                 ; 选列
36
    OUT DX, AL
37
    SHR AL, 1
38

39
    PUSH AX
40
    PUSH CX
41
    MOV DX, P8255C
42
    IN  AL, DX                     ; 读Y口
43
    AND AL, 0FH                    ; 屏蔽高四位
44
    CMP AL, 0FH                    ; 判断是否有按键按下（若无则为FF）
45
    JZ  NEXT                       ; 无按键按下
46
    CALL CHANGE                    ; 有按键按下，更改显示
47

48
NEXT:
49
    CALL SHOW                      ; 数码管显示
50
    POP CX
51
    POP AX
52
    LOOP CHECK_ROW
53
    JMP MAIN
54

55
CHANGE:
56
    OR  AX, 0F0H                   ; 屏蔽高4位
57
    CMP AL, 11111110B              ; Y1有按键按下？
58
    JZ  D1
59
    CMP AL, 11111101B              ; Y2有按键按下？
60
    JZ  D2
61
    CMP AL, 11111011B              ; Y3有按键按下？
62
    JZ  D3
63
    CMP AL, 11110111B              ; Y4有按键按下？
64
    JZ  D4
65

66
D1: MOV AL, 04H                    ; Y1有按键按下
67
    JMP CALC
68
D2: MOV AL, 08H                    ; Y2有按键按下
69
    JMP CALC
70
D3: MOV AL, 0CH                    ; Y3有按键按下
71
    JMP CALC
72
D4: MOV AL, 10H                    ; Y4有按键按下
73
    JMP CALC
74
CALC:
75
    ADD AL, CL                     ; 计算(Xi, Yj)对应数字
76
    SUB AL, 05H                    ; 对应i+4*j-5
77
    AND AH, 00H                    ; AX高8位清零
78
    MOV SI, AX                     ; 至此，AX的值为按键对应的数字
79

80
    LEA BX, TAB                    ; 更改数码管内容
81
    MOV AL, T5
82
    MOV T6, AL
83
    MOV AL, T4
84
    MOV T5, AL
85
    MOV AL, T3
86
    MOV T4, AL
87
    MOV AL, T2
88
    MOV T3, AL
89
    MOV AL, T1
90
    MOV T2, AL
91
    MOV AX, [BX+SI]
92
    MOV T1, AL
93
    CALL LDELAY
94
DFI:
95
    RET
96

97
SHOW:
98
    LEA BX, T1
99
    MOV AL, 11011111B
100
    MOV SI, 00H
101
    MOV CX, 06H
102
MC:
103
    MOV DX, P8255A
104
    OUT DX, AL
105
    ROR AL, 1
106
    PUSH AX
107
    MOV DX, P8255B
108
    MOV AL, [BX+SI]
109
    OUT DX, AL
110
    POP AX
111
    INC SI
112
    CALL DELAY
113
    LOOP MC
114
    RET
115
DELAY:
116
    PUSH CX
117
    MOV CX, 05FFH
118
    LOOP $
119
    POP CX
120
    RET
121
LDELAY:
122
    PUSH CX
123
    MOV CX, 0FFFFH
124
    LOOP $
125
    POP CX
126
    RET
127
CODE ENDS
128
    END START

展开收起

扩展部分：#

1
P8255A EQU 0600H
2
P8255B EQU 0602H
3
P8255C EQU 0604H
4
P8255MODE EQU 0606H
5
DATA SEGMENT
6
    TAB  DB 3FH,06H,5BH,4FH
7
         DB 66H,6DH,7DH,07H
8
         DB 7FH,6FH,77H,7CH
9
         DB 39H,5EH,79H,71H
10
    POS  DB 01H
11
    NUM  DB 00H
12
    TURN DB 01H
13
DATA ENDS
14

15
CODE SEGMENT
16
    ASSUME CS:CODE, DS:DATA
17
START:
18
    MOV AX, DATA
19
    MOV DS, AX
20

21
    MOV AX, 00H
22
    LEA BX, TAB
23

24
    MOV DX, P8255MODE
25
    MOV AL, 81H
26
    OUT DX, AL
27

28
MAIN:
29
    MOV AL, 11110111B
30
    MOV CX, 4
31
S1:
32
    MOV DX, P8255A
33
    OUT DX, AL
34
    SHR AL, 1
35

36
    PUSH AX
37
    PUSH CX
38
    MOV DX, P8255C
39
    IN  AL, DX
40
    AND AL, 0FH
41
    CMP AL, 0FH
42
    JZ  S2
43
    CALL CHANGE
44
    JZ  S3
45
S3:
46
    CALL SHOW
47
    POP CX
48
    POP AX
49
    CALL DELAY
50
    LOOP S1
51
    JMP MAIN
52

53
CHANGE:
54
    OR  AX, 0F0H
55
    CMP AL, 11111110B
56
    JZ  D1
57
    CMP AL, 11111101B
58
    JZ  D2
59
    CMP AL, 11111011B
60
    JZ  D3
61
    CMP AL, 11110111B
62
    JZ  D4
63

64
D1: MOV AL, 04H
65
    JMP D5
66
D2: MOV AL, 08H
67
    JMP D5
68
D3: MOV AL, 0CH
69
    JMP D5
70
D4: MOV AL, 10H
71
    JMP D5
72
D5: ADD AL, CL
73
    SUB AL, 05H
74
    CMP AL, 0FH                    ; 按F键退出
75
    JNZ CONTI
76
    MOV AH, 4CH
77
    INT 21H
78
CONTI:
79
    MOV SI, AX
80
    LEA BX, TAB
81
    MOV AL, [BX+SI]
82
    MOV NUM, AL
83
    CMP TURN, 00H
84
    JZ  LEFT
85
    CMP POS, 00000001B             ; 已移至最右端
86
    JZ  TURNLEFT                   ; 转向
87
    ROR POS, 1                     ; 否则向右移动一步
88
    JMP DFI
89
TURNLEFT:
90
    MOV TURN, 0                    ; 方向改为向左
91
    JMP DFI
92
LEFT:
93
    CMP POS, 00100000B             ; 已移至最左端
94
    JZ  TURNRIGHT                  ; 转向
95
    ROL POS, 1                     ; 否则向左移动一步
96
    JMP DFI
97
TURNRIGHT:
98
    MOV TURN, 1                    ; 方向改为向右
99
DFI:
100
    RET
101

102
SHOW:
103
    MOV BL, 01H
104
    MOV AL, 11011111B
105
    MOV SI, 00H
106
    MOV CX, 06H
107
MC:
108
    MOV DX, P8255A
109
    OUT DX, AL
110
    ROR AL, 1
111
    PUSH AX
112
    MOV DX, P8255B
113
    MOV AL, 00H
114
    CMP BL, POS
115
    JNZ DIS
116
    MOV AL, NUM
117
DIS:
118
    OUT DX, AL
119
    ROL BL, 1
120
    POP AX
121
    INC SI
122
    CALL DELAY
123
    LOOP MC
124
    RET
125
DELAY:
126
    PUSH CX
127
    MOV CX, 08FFH
128
    LOOP $
129
    POP CX
130
    RET
131

132
CODE ENDS
133
    END START

展开收起

实验八数码管显示实验

Mon, 21 Nov 2022 00:00:00 GMT

实验八数码管显示实验#

1. 实验内容#

基础部分

用一片 8255 接口芯片的 A 口和 B 口分别连接数码管段码接口（ABCDEFG、Dp）和位码接口（X1~X6）。编写程序实现以下两种显示方式：

使六位数码管从右到左逐位显示移动的数字 0 到 9，即数字 0 从最右端移动到最左端，数字 1 从最右端移动到最左端，….，数字 9 从最右端移动到最左端，循环上述过程；
使六位数码管从左到右稳定显示数字“123456”。

扩展部分

编写数码管显示子程序，可实现 1 个或多个数码管的稳定显示，使用入口参数定义拟显示的位置和显示的内容。使用该子程序，重新完成基础实验 1 和 2。
在数码管上显示学号后六位，并使用 6 个开关控制对应数码管的亮灭（例如，开关为 1 点亮，为 0 熄灭）。
在左侧的三个数码管上显示“123”，每隔 1 秒钟（可用软件延时，也可用 8254定时）“123”向右移动一位（循环）。

2. 连线#

机箱连线

3. 实验代码#

基础部分：#

1#

1
P8255A EQU 0600H
2
P8255B EQU 0602H
3
P8255C EQU 0604H
4
P8255MODE EQU 0606H
5

6
DATA SEGMENT
7
    TAB: DB 3FH,06H,5BH,4FH,66H,6DH,7DH,07H,7FH,6FH
8
DATA ENDS
9

10
CODE SEGMENT
11
    ASSUME CS:CODE, DS:DATA
12
START:
13
    MOV AX, DATA
14
    MOV DS, AX
15

16
    MOV DX, P8255MODE
17
    MOV AL, 80H                 ; A,B口输出
18
    OUT DX, AL
19

20
    MOV DX, P8255A
21
    MOV AL, 00H
22
    OUT DX, AL
23
    MOV DX, P8255B
24
    MOV AL, 00H
25
    OUT DX, AL
26

27
    LEA BX, TAB
28
    MOV SI, 0
29
    MOV AL, 11011111B           ; 从最右侧数码管开始
30
MAIN:
31
    MOV DX, P8255A              ; 选择数码管
32
    OUT DX, AL
33
    ROR AL, 1
34
    PUSH AX
35
    MOV DX, P8255B
36
    MOV AL, [BX+SI]
37
    OUT DX, AL
38
    CALL DELAY
39
    POP AX
40
    CMP AL, 01111111B           ; 已经移至最左侧（多循环移动了一位）
41
    JZ  INIT_POS
42
    JMP MAIN
43
INIT_POS:                       ; 初始化数码管位置
44
    MOV AL, 11011111B
45
    INC SI
46
    CMP SI, 10                  ; 已经显示到9（多加了一次）
47
    JZ  INIT_DIGIT
48
    JMP MAIN
49
INIT_DIGIT:                     ; 初始化数码管数字
50
    MOV SI, 0
51
    JMP MAIN
52

53
DELAY:
54
    PUSH CX
55
    MOV CX, 0FFFFH
56
    LOOP $
57
    POP CX
58
    RET
59
CODE ENDS
60
     END START

展开收起

2#

1
P8255A EQU 0600H
2
P8255B EQU 0602H
3
P8255C EQU 0604H
4
P8255MODE EQU 0606H
5

6
DATA SEGMENT
7
    TAB: DB 06H,5BH,4FH,66H,6DH,7DH
8
DATA ENDS
9
CODE SEGMENT
10
    ASSUME CS:CODE, DS:DATA
11
START:
12
    MOV AX, DATA
13
    MOV DS, AX
14

15
    MOV DX, P8255MODE
16
    MOV AL, 80H
17
    OUT DX, AL
18

19
    LEA BX, TAB
20
    MOV SI, 0
21
    MOV AL, 11111110B           ; 从最左侧数码管开始
22
MAIN:
23
    MOV DX, P8255A              ; 选择数码管
24
    OUT DX, AL
25
    ROL AL, 1
26
    PUSH AX
27
    MOV DX, P8255B
28
    MOV AL, [BX+SI]
29
    OUT DX, AL
30
    CALL DELAY
31
    POP AX
32

33
    INC SI
34
    CMP SI, 6
35
    JZ  RESET
36
    JMP MAIN
37
RESET:
38
    MOV SI, 0
39
    MOV AL, 11111110B
40
    JMP MAIN
41

42
DELAY:
43
    PUSH CX
44
    MOV CX, 0FFH
45
    LOOP $
46
    POP CX
47
    RET
48
CODE ENDS
49
     END START

展开收起

扩展部分：#

1-1 略#

1-2#

1
P8255A EQU 0600H
2
P8255B EQU 0602H
3
P8255C EQU 0604H
4
P8255MODE EQU 0606H
5

6
PUBLIC POS
7
DATA SEGMENT
8
    TAB DB 06H,5BH,4FH,66H,6DH,7DH
9
    POS DB 11111110B
10
DATA ENDS
11

12
CODE SEGMENT
13
    ASSUME CS:CODE, DS:DATA
14

15
START:
16
    MOV AX, DATA
17
    MOV DS, AX
18

19
    MOV DX, P8255MODE
20
    MOV AL, 80H
21
    OUT DX, AL
22
    LEA BX, TAB
23
MAIN:
24
    MOV POS, 11111110B
25
    MOV SI, 0
26
    CALL DISPLAY_LEDS
27
    JMP MAIN
28

29
DISPLAY_LEDS:
30
    MOV CX, 6
31
D1: CALL SHOW_DIGIT
32
    ROL POS, 1
33
    INC SI
34
    LOOP D1
35
    RET
36

37
SHOW_DIGIT:
38
    MOV DX, P8255A
39
    MOV AL, POS
40
    OUT DX, AL
41
    MOV DX, P8255B
42
    MOV AL, [SI+BX]
43
    OUT DX, AL
44
    CALL DELAY
45
    RET
46

47
DELAY:
48
    PUSH CX
49
    MOV CX,0FFH
50
    LOOP $
51
    POP CX
52
    RET
53

54
CODE ENDS
55
    END START

展开收起

2#

C口 PC0-PC7 接 K0-K7

1
P8255A EQU 0600H
2
P8255B EQU 0602H
3
P8255C EQU 0604H
4
P8255MODE EQU 0606H
5

6
PUBLIC POS
7

8
DATA SEGMENT
9
    TAB DB 5BH,3FH,3FH,6DH,06H,7DH
10
    POS DB 11111110B
11
    SSS DB 00100000B
12
DATA ENDS
13

14
CODE SEGMENT
15
    ASSUME CS:CODE, DS:DATA
16

17
START:
18
    MOV AX, DATA
19
    MOV DS, AX
20
    MOV DX, P8255MODE
21
    MOV AL, 89H                  ; A、B口输出，C口输入
22
    OUT DX, AL
23
    LEA BX, TAB
24
MAIN:
25
    MOV POS, 11111110B           ; 从最左侧数码管开始
26
    MOV SSS, 00100000B           ; 从最左侧开关开始
27
    MOV SI, 0
28
    CALL DISPLAY_LEDS
29
    JMP MAIN
30

31
DISPLAY_LEDS:
32
    MOV CX, 6
33
D1: CALL SHOW_DIGIT
34
    ROL POS, 1
35
    ROR SSS, 1
36
    INC SI
37
    LOOP D1
38
    RET
39

40
SHOW_DIGIT:
41
    MOV DX, P8255A
42
    MOV AL, POS
43
    OUT DX, AL
44
    MOV DX, P8255C               ; 读开关状态
45
    IN  AL, DX
46
    MOV DX, P8255B
47
    AND AL, SSS                  ; 判断当前位置开关状态
48
    JZ  OFF
49
    MOV AL, [BX+SI]
50
    OUT DX, AL
51
    JMP EXITT
52
OFF:
53
    MOV AL, 00H
54
    OUT DX, AL
55
EXITT:
56
    CALL DELAY
57
    RET
58

59
DELAY:
60
    PUSH CX
61
    MOV CX,0FFH
62
    LOOP $
63
    POP CX
64
    RET
65

66
CODE ENDS
67
    END START

展开收起

3#

定时器接线按照代码自行推知

1
P8255A EQU 0600H
2
P8255B EQU 0602H
3
P8255C EQU 0604H
4
P8255MODE EQU 0606H
5

6
P8254A EQU 06C0H
7
P8254B EQU 06C2H
8
P8254C EQU 06C4H
9
P8254MODE EQU 06C6H
10

11
PUBLIC POS
12

13
DATA SEGMENT
14
    TAB  DB 06H,5BH,4FH
15
    POS  DB 11111110B
16
    INIP DB 11111110B
17
DATA ENDS
18

19
CODE SEGMENT
20
    ASSUME CS:CODE, DS:DATA
21

22
START:
23
    MOV AX, DATA
24
    MOV DS, AX
25

26
    LEA AX, MIR7                   ; 取中断入口地址
27
    MOV SI, 003CH                ; 中断矢量地址
28
    MOV [ES:SI], AX              ; 填IRQ7的偏移矢量确定地址
29
    MOV AX, CS                   ; 段地址
30
    MOV SI, 003EH
31
    MOV [ES:SI], AX              ; 填IRQ7的段地址矢量
32

33
    CLI
34
    MOV DX, P8255MODE
35
    MOV AL, 81H
36
    OUT DX, AL
37
    LEA BX, TAB
38

39
    MOV DX, P8254MODE
40
    MOV AL, 36H
41
    OUT DX, AL
42
    MOV DX, P8254A
43
    MOV AL, 00H                  ; 定时器初值4800H
44
    OUT DX, AL
45
    MOV AL, 48H
46
    OUT DX, AL
47

48
    MOV AL, 11H
49
    OUT 20H, AL
50
    MOV AL, 08H
51
    OUT 21H, AL
52
    MOV AL, 04H
53
    OUT 21H, AL
54
    MOV AL, 07H
55
    OUT 21H, AL
56
    MOV AL, 2FH
57
    OUT 21H, AL
58
    STI
59
MAIN:
60
    MOV CL, INIP
61
    MOV POS, CL
62
    MOV SI, 0
63
    CALL DISPLAY_LEDS
64
    JMP MAIN
65

66
DISPLAY_LEDS:
67
    MOV CX, 3
68
D1: CALL SHOW_DIGIT
69
    ROL POS, 1
70
    CMP POS, 10111111B           ; 最右侧（多移动了一位）
71
    JNZ EXI
72
    MOV POS, 11111110B           ; 下一个数码位置初始化至最左侧
73
EXI:
74
    INC SI
75
    LOOP D1
76
    RET
77

78
SHOW_DIGIT:
79
    MOV DX, P8255A
80
    MOV AL, POS
81
    OUT DX, AL
82
    MOV DX, P8255B
83
    MOV AL, [BX+SI]
84
    OUT DX, AL
85
    CALL DELAY
86
    RET
87

88
MIR7:
89
    ROL INIP, 1
90
    CMP INIP, 10111111B           ; 最右侧（多移动了一位）
91
    JNZ EXITI
92
    MOV INIP, 11111110B           ; 起始数码（1）位置初始化至最左侧
93
EXITI:
94
    IRET
95

96
DELAY:
97
    PUSH CX
98
    MOV CX,0FFH
99
    LOOP $
100
    POP CX
101
    RET
102

103
CODE ENDS
104
    END START

展开收起

实验六 8254定时/计数器实验

Fri, 18 Nov 2022 00:00:00 GMT

实验六 8254定时/计数器实验#

1. 实验内容#

基础部分

编写程序，使 8254 的计数器 1 分别工作在方式 0、1、2、3 下，在示波器上观察各工作方式下 OUT1 的输出波形。

扩展部分

使用单脉冲开关手动生成 8254 的输入时钟，观察方式 0的输出波形；
编写程序，在示波器上显示周期为 1s 的方波；
利用 8254 方式2或方式3 精确定时，控制 LED 灯 D7~D0 的点亮：
- 初始时，D7~D0全部熄灭；
- 1秒钟之后点亮D0，再经过1秒D1D0点亮，…，8秒钟之后D7~D0全部点亮。

2. 实验原理#

8254 工作方式介绍#

方式 0：计数到 0 结束输出正跃变信号方式。
方式 1：硬件可重触发单稳方式。
方式 2：频率发生器方式。
方式 3：方波发生器。
方式 4：软件触发选通方式。
方式 5：硬件触发选通方式

3. 连线#

机箱连线

CLK1和GATE1具体接法见实验分析

4. 实验代码#

基础部分：#

1
P8254_0 EQU 0600H
2
P8254_1 EQU 0602H
3
P8254_2 EQU 0604H
4
P8254MODE EQU 0606H
5

6
CODE SEGMENT
7
    ASSUME CS:CODE
8
START:
9
    MOV DX, P8254MODE
10
    ;计数器1，先低再高，二进制
11
    ;MOV AL, 01110000B          ;方式0
12
    ;MOV AL, 01110010B          ;方式1
13
    ;MOV AL, 01110100B          ;方式2
14
    MOV AL, 01110110B           ;方式3
15
    OUT DX, AL
16

17
    MOV DX, P8254_1
18
    MOV AL, 00H                 ;计数器初值4800H
19
    OUT DX, AL
20
    MOV AL, 48H                 ;18.432KHZ时钟源，计时1s后输出正跃变信号
21
    OUT DX, AL
22
    JMP $
23
CODE ENDS
24
    END START

展开收起

扩展部分：#

1#

1
P8254_0 EQU 0600H
2
P8254_1 EQU 0602H
3
P8254_2 EQU 0604H
4
P8254MODE EQU 0606H
5

6
CODE SEGMENT
7
    ASSUME CS:CODE
8
START:
9
    MOV DX, P8254MODE
10
    MOV AL, 70H                ;方式0
11
    OUT DX, AL
12
    MOV DX, P8254_1
13
    MOV AX, 00H
14
    OUT DX, AL
15
    MOV AX, 05H                ;按6次后跳变为高电平
16
    OUT DX, AL
17
    JMP $
18
CODE ENDS
19
    END START

展开收起

2#

1
P8254_0 EQU 0600H
2
P8254_1 EQU 0602H
3
P8254_2 EQU 0604H
4
P8254MODE EQU 0606H
5

6
CODE SEGMENT
7
    ASSUME CS:CODE
8
START:
9
    MOV DX, P8254MODE
10
    MOV AL, 76H                ;方式3：方波发生器
11
    OUT DX, AL
12
    MOV DX, P8254_1
13
    MOV AX, 00H                ;计数器初值4800H
14
    OUT DX, AL
15
    MOV AX, 48H
16
    OUT DX, AL
17
    JMP $
18
CODE ENDS
19
    END START

展开收起

3#

1
P8254_0 EQU 0600H
2
P8254_1 EQU 0602H
3
P8254_2 EQU 0604H
4
P8254MODE EQU 0606H
5

6
P8255A EQU 0640H
7
P8255B EQU 0642H
8
P8255C EQU 0644H
9
P8255MODE EQU 0646H
10

11
CODE SEGMENT
12
    ASSUME CS:CODE
13
START:
14
    MOV DX, P8254MODE
15
    MOV AL, 76H                 ;方式3
16
    OUT DX, AL
17
    MOV DX, P8254_1
18
    MOV AL, 00H
19
    OUT DX, AL
20
    MOV AL, 48H
21
    OUT DX, AL
22

23
    MOV DX, P8255MODE
24
    MOV AL, 80H
25
    OUT DX, AL
26

27
    LEA AX, MIR6
28
    MOV SI, 38H
29
    MOV [ES:SI], AX
30
    MOV AX, CS
31
    MOV SI, 3AH
32
    MOV [ES:SI], AX
33

34
    CLI
35
    MOV AL, 11H
36
    OUT 20H, AL
37
    MOV AL, 08H
38
    OUT 21H, AL
39
    MOV AL, 04H
40
    OUT 21H, AL
41
    MOV AL, 07H
42
    OUT 21H, AL
43
    MOV AL, 2FH
44
    OUT 21H, AL
45
    STI
46
INIT:
47
    MOV AL, 00H
48
    MOV DX, P8255B
49
MAIN:
50
    OUT DX, AL
51
    JMP MAIN
52

53
MIR6:
54
    CMP AL, 0FFH                ;全部点亮后循环
55
    JZ  RESET
56
    ROL AL, 1
57
    INC AL
58
    JMP EXIT
59
RESET:                          ;重置，熄灭所有灯
60
    MOV AL, 00H
61
EXIT:
62
    IRET
63

64
CODE ENDS
65
    END START

展开收起

实验分析#

1. 基础实验#

方式0 下，计数器初值 4800H，CLK1 接 18.432KHZ 时钟源，OUT1 接 IN0，示波器上在 1s 后产生一个正跃变信号，并在此后保持高电平。
方式1 下，计数器初值 4800H，CLK1 接 18.432KHZ 时钟源，GATE1接KK1，OUT1 接 IN0，示波器上为高电平，按下 KK1 后变为低电平开始计时，1s 后产生一个正跃变信号，并在此后保持高电平。
方式2 下，OUT1 接 IN0，示波器上保持高电平，偶尔会出现一个负脉冲（这是由于示波器的采样率不够，无法将每个脉冲捕捉到）。
方式3下，计数器初值 4800H，CLK1 接 18.432KHZ 时钟源，OUT1 接 IN0，示波器上显示周期为 1s 的方波。

2. 扩展实验#

在方式0下，将 CLK1 接 KK1，OUT1 接 IN0，计数初值设为 nnn，则按 KK1 n+1n+1n+1次后，示波器上产生一个正跃变信号，并在此后保持高电平。
在方式3下，计数器初值设为 4800H，CLK1接 18.432KHZ 时钟源，OUT1 接 IN0，示波器上显示周期为 1s 的方波。
在方式2或方式3下，计数器初值设为 4800H，CLK1接 18.432KHZ 时钟源，OUT1接MIR6，每秒产生一个中断。

实验四 A/D转换实验

Mon, 14 Nov 2022 00:00:00 GMT

实验四 A/D转换实验#

1. 实验内容#

基础+扩展部分

编写实验程序，将 ADC 单元中提供的 0V～5V 信号源作为 ADC0809 的模拟输入量，进行 A/D 转换，转换结果通过 8 位 LED 进行显示。分别使用延时等待、查询和中断三种方式实现本实验的实验内容。

2. 实验原理#

延时方式：又名等待方式、定时采样方式，即向A/D转换器发出启动命令后，进行软件延时（等待），经过等待后读A/D转换数据。
查询方式：向A/D转换器发出启动命令后，查询EOC状态。若EOC=1，则表示A/D转换已经结束，可以读结果；若EOC=0，则说明A/D转换正在进行中，应继续查询，直到EOC=1为止。
中断方式：向A/D转换器发出启动命令后，主程序可转去执行其他任务，一旦A/D转换结束，EOC由0变为1产生一个上升沿作为中断信号，在中断处理中读出A/D转换结果。

ADC0809工作时序

3. 连线#

机箱连线

ABC口连接系统总线 XA1-XA3（本实验中使用IN0，即000，因此也可以直接接地）

EOC口需先经过机箱左侧的转换单元，再接到8255A口的PA7上。

8255连线见实验一

4. 实验代码#

(1) 延时方式：#

1
P8255A EQU 0600H
2
P8255B EQU 0602H
3
P8255C EQU 0604H
4
P8255MODE EQU 0606H
5

6
ADC0809A EQU 0640H
7

8
CODE SEGMENT
9
    ASSUME CS:CODE
10
START:
11
    MOV DX, P8255MODE
12
    MOV AL, 80H
13
    OUT DX, AL
14
MAIN:
15
    MOV DX, ADC0809A
16
    OUT DX, AL                ;启动A/D转换
17
    CALL DELAY                ;延时一段时间等待转换结果
18
    IN  AL, DX                ;读A/D转换结果
19
    MOV DX, P8255B
20
    OUT DX, AL                ;输出到LED上
21
    JMP MAIN
22

23
DELAY:
24
    MOV CX, 0FFFFH
25
    LOOP $
26
    RET
27

28
CODE ENDS
29
    END START

展开收起

(2) 查询方式：#

1
P8255A EQU 0600H
2
P8255B EQU 0602H
3
P8255C EQU 0604H
4
P8255MODE EQU 0606H
5

6
ADC0809A EQU 0640H
7

8
CODE SEGMENT
9
    ASSUME CS:CODE
10
START:
11
    MOV DX, P8255MODE
12
    MOV AL, 90H
13
    OUT DX, AL
14
MAIN:
15
    MOV DX, ADC0809A
16
    OUT DX, AL               ;启动A/D转换
17
JUDGE:
18
    MOV DX, P8255A
19
    IN  AL, DX               ;读EOC
20
    CMP AL, 80H              ;判断EOC是否为高电平
21
    JNZ JUDGE                ;若不为高则继续查询等待
22

23
    MOV DX, ADC0809A
24
    IN  AL, DX               ;读A/D转换结果
25
    MOV DX, P8255B
26
    OUT DX, AL               ;输出到LED上
27
    CALL DELAY
28
    JMP MAIN
29

30
DELAY:
31
    PUSH CX
32
    MOV CX, 0FFFH
33
    LOOP $
34
    POP CX
35
    RET
36

37
CODE ENDS
38
    END START

展开收起

(3) 中断方式#

1
P8255A EQU 0600H
2
P8255B EQU 0602H
3
P8255C EQU 0604H
4
P8255MODE EQU 0606H
5

6
ADC0809A EQU 0640H
7
ADC0809B EQU 0642H
8

9
CODE SEGMENT
10
    ASSUME CS:CODE
11
START:
12
    MOV DX, P8255MODE
13
    MOV AL, 90H
14
    OUT DX, AL
15

16
    LEA AX, MIR6
17
    MOV SI, 0038H
18
    MOV [ES:SI], AX
19
    MOV AX, CS
20
    MOV SI, 003AH
21
    MOV [ES:SI], AX
22

23
    CLI
24
    MOV AL, 11H
25
    OUT 20H, AL
26
    MOV AL, 08H
27
    OUT 21H, AL
28
    MOV AL, 04H
29
    OUT 21H, AL
30
    MOV AL, 07H
31
    OUT 21H, AL
32
    MOV AL, 2FH
33
    OUT 21H, AL
34
    STI
35

36
MAIN:
37
    CLI
38
    ;MOV DX, ADC0809B
39
    ;MOV AL, 01H
40
    OUT DX, AL
41
    MOV DX, ADC0809A
42
    OUT DX, AL                ;启动A/D转换
43
    CALL DELAY
44
    STI
45
    JMP MAIN
46

47
MIR6:                         ;检测到EOC上升沿，进入中断
48
    MOV DX, ADC0809A
49
    IN  AL, DX                ;读A/D转换结果
50
    MOV DX, P8255B
51
    OUT DX, AL                ;输出到LED上
52
    IRET
53

54
DELAY:
55
    PUSH CX
56
    MOV CX, 0FFFH
57
    LOOP $
58
    POP CX
59
    RET
60

61
CODE ENDS
62
    END START

展开收起

实验五 D/A转换实验

Mon, 14 Nov 2022 00:00:00 GMT

实验五 D/A转换实验#

1. 实验内容#

基础部分

编写程序，产生周期的锯齿波、矩形波、三角波和阶梯波，经 D/A 转换，显示在软件模拟示波器上。
要求：每种波形的周期数、阶梯波的阶梯数可通过参数设置。

扩展部分

在软件模拟示波器上显示锯齿波、矩形波、三角波和阶梯波，并使用单脉冲开关KK1在四种波形间进行切换。

2. 实验原理#

3. 连线#

机箱连线

KK1 连接 MIR6

4. 实验代码#

基础部分：#

（见扩展部分）

扩展部分：#

1
DAC0832 EQU 0600H
2

3
DATA SEGMENT
4
    SIGN DB 00H
5
DATA ENDS
6

7
CODE SEGMENT
8
    ASSUME  CS:CODE, DS:DATA
9
START:
10
    MOV AX, 0000H
11
    MOV DS, AX
12

13
    LEA AX, MIR6
14
    MOV SI, 38H
15
    MOV [ES:SI], AX
16
    MOV AX, CS
17
    MOV SI, 3AH
18
    MOV [ES:SI], AX
19

20
    CLI
21
    MOV AL, 11H
22
    OUT 20H, AL
23
    MOV AL, 08H
24
    OUT 21H, AL
25
    MOV AL, 04H
26
    OUT 21H, AL
27
    MOV AL, 07H
28
    OUT 21H, AL
29
    MOV AL, 2FH
30
    OUT 21H, AL
31
    STI
32

33
MAIN:
34
    CMP SIGN, 0
35
    JZ SAW
36
    CMP SIGN, 1
37
    JZ REC
38
    CMP SIGN, 2
39
    JZ TRI
40
    CMP SIGN, 3
41
    JZ STA_CON
42
    JMP MAIN
43

44
SAW:
45
    CMP SIGN, 0
46
    JNE MAIN
47
    MOV DX, DAC0832
48
    MOV AL, 00H
49
SA1:
50
    OUT DX, AL
51
    CALL DELAY1
52
    CMP AL, 0FFH
53
    JE  SA2
54

55
    INC AL
56
    JMP SA1
57
SA2:
58
    JMP SAW
59

60
REC:
61
    CMP SIGN,1
62
    JNE MAIN
63
    MOV DX, DAC0832
64
    MOV AL, 00H
65
    OUT DX, AL
66
    CALL DELAY2
67
    MOV AL, 0FFH
68
    OUT DX, AL
69
    CALL DELAY2
70
    JMP REC
71
STA_CON:
72
    JMP STA
73
STA_RET:
74
    JMP MAIN
75

76
TRI:
77
T1:
78
    CMP SIGN, 2
79
    JNE MAIN
80
    MOV DX, DAC0832
81
    OUT DX, AL
82

83
    CALL DELAY1
84
    CMP AL, 0FFH
85
    JE T2
86
    INC AL
87
    JMP T1
88
T2:
89
    MOV DX, DAC0832
90
    OUT DX, AL
91
    CALL DELAY1
92
    CMP AL, 00H
93
    JE T3
94
    DEC AL
95
    JMP T2
96
T3:
97
    JMP TRI
98

99
STA:
100
    MOV AX, 0FEH
101
    MOV BL, 05H
102
    DIV BL
103
    MOV BL, AL
104
    MOV BH, 00H
105
ST1:
106
    CMP SIGN,3
107
    JNE STA_RET
108
    MOV AX, 0000H
109
ST2:
110
    MOV DX, DAC0832
111
    OUT DX, AL
112
    CMP AX, 00FFH
113
    JAE ST3
114
    CALL DELAY2
115
    ADD AX, BX
116
    JMP ST2
117
ST3:
118
    JMP STA
119

120
MIR6:
121
    INC SIGN
122
    CMP SIGN, 4
123
    JNZ QUIT
124
    MOV SIGN, 0
125
QUIT:
126
    IRET
127

128
DELAY1:
129
    PUSH CX
130
    MOV CX, 01FFH
131
D1: PUSH AX
132
    POP AX
133
    LOOP D1
134
    POP CX
135
    RET
136

137
DELAY2:
138
    PUSH CX
139
    MOV CX, 0FFFFH
140
D2: PUSH AX
141
    POP AX
142
    LOOP D2
143
    POP CX
144
    RET
145

146
CODE ENDS
147
    END START

展开收起

实验三 8259中断优先级实验

Sat, 12 Nov 2022 00:00:00 GMT

实验三 8259中断优先级实验#

1. 实验内容#

基础部分

编写中断实验程序：

主程序通过 8255 的 PB 口输出 0FFH，使数据灯 D0~D7 全亮；
IR6中断服务程序使绿灯亮（红灯灭），延时一段时间后返回主程序；
IR7中断服务程序使红灯亮（绿灯灭），延时一段时间后返回主程序。

要求：

按单脉冲开关 KK1：响应IR6中断请求；
按单脉冲开关 KK2：响应IR7中断请求。

拓展部分

使用单脉冲开关控制 LED 灯的移动方向：

初始时 D7 点亮，其余灯熄灭；
任意时刻按下 KK1，点亮的 LED 灯立即向右循环移动；
任意时刻按下 KK2，点亮的 LED 灯立即向左循环移动。

2. 实验原理#

在实验系统中，将主控制器的 IR6、IR7 以及从控制器的 IR1 开放出来供实验使用，主片 8259 的 IR4 供系统串口使用。

8259的内部连接及外部管脚引出

ICU寄存器列表

中断向量

ICW1: 11H 上升沿触发，有 ICW4

ICW1.jpg

ICW2: 08H

ICW2.jpg

ICW3: 04H

ICW3.jpg

ICW4: 07H 全嵌套非缓冲，自动结束中断，8086~Pentium CPU

ICW4.jpg

OCW1: 允许IR7、IR6、IR4（键盘）中断

OCW1.jpg

3. 连线#

机箱连线

8255 连线见实验一

4. 实验代码#

基础实验：#

1
P8255A EQU 0640H
2
P8255B EQU 0642H
3
P8255C EQU 0644H
4
P8255MODE EQU 0646H
5

6
CODE SEGMENT
7
    ASSUME CS:CODE
8
START:
9
    MOV DX, P8255MODE
10
    MOV AL, 90H
11
    OUT DX, AL
12

13
    MOV AL, 0FFH
14
    MOV DX, P8255B
15
    OUT DX, AL
16

17
    LEA AX, MIR6               ;IR6中断向量填充
18
    MOV SI, 0038H
19
    MOV [ES:SI], AX
20
    MOV AX, CS
21
    MOV SI, 003AH
22
    MOV [ES:SI], AX
23

24
    LEA AX, MIR7               ;IR7中断向量填充
25
    MOV SI, 003CH
26
    MOV [ES:SI], AX
27
    MOV AX, CS
28
    MOV SI, 003EH
29
    MOV [ES:SI], AX
30

31
    CLI                        ;关中断
32
    MOV AL, 11H                ;ICW1:级联(主片),上升沿,有ICW4
33
    OUT 20H, AL
34
    MOV AL, 08H                ;ICW2:
35
    OUT 21H, AL
36
    MOV AL, 04H                ;ICW3:
37
    OUT 21H, AL
38
    MOV AL, 07H                ;ICW4:全嵌套非缓冲，主片，自动结束中断，8086~Pentium CPU
39
    OUT 21H, AL
40
    MOV AL, 2FH                ;OCW1 允许IR1中断
41
    OUT 21H, AL
42
    STI                        ;开中断
43
MAIN:
44
    MOV AL, 0FFH
45
    MOV DX, P8255B
46
    OUT DX, AL
47
    JMP MAIN
48
MIR6:
49
    MOV AL, 0FH                 ;只点亮低四位
50
    MOV DX, P8255B
51
    OUT DX, AL
52
    ;MOV AL, 20H                ;手动结束中断
53
    ;OUT 20H, AL                ;自动模式下不需要
54
    CALL DELAY                  ;等待一段时间
55
    IRET
56
MIR7:
57
    MOV AL, 0F0H                ;只点亮高四位
58
    MOV DX, P8255B
59
    OUT DX, AL
60
    ;MOV AL, 20H
61
    ;OUT 20H, AL
62
    CALL DELAY
63
    IRET
64

65
DELAY:
66
    PUSH CX
67
    MOV CX,0FFFFH
68
    LOOP $
69
    POP CX
70
    RET
71
CODE ENDS
72
     END START

展开收起

扩展实验：#

1. 中断平级#

1
P8255A EQU 0640H
2
P8255B EQU 0642H
3
P8255C EQU 0644H
4
P8255MODE EQU 0646H
5

6
DATA SEGMENT
7
    SIGN DB 00H
8
DATA ENDS
9

10
CODE SEGMENT
11
    ASSUME CS:CODE, DS:DATA
12
START:
13
    MOV AX, 0000H
14
    MOV DS, AX
15
    MOV DX, P8255MODE
16
    MOV AL, 80H
17
    OUT DX, AL
18

19
    MOV DX, P8255B
20
    MOV AL, 80H
21
    OUT DX, AL
22

23
    LEA AX, MIR6
24
    MOV SI, 38H
25
    MOV [ES:SI], AX
26
    MOV AX, CS
27
    MOV SI, 3AH
28
    MOV [ES:SI], AX
29

30
    LEA AX, MIR7
31
    MOV SI, 3CH
32
    MOV [ES:SI], AX
33
    MOV AX, CS
34
    MOV SI, 3EH
35
    MOV [ES:SI], AX
36

37
    CLI
38
    MOV AL, 11H
39
    OUT 20H, AL
40
    MOV AL, 08H
41
    OUT 21H, AL
42
    MOV AL, 04H
43
    OUT 21H, AL
44
    MOV AL, 07H
45
    OUT 21H, AL
46
    MOV AL, 2FH
47
    OUT 21H, AL
48
    STI
49

50
MAIN:
51
    CMP SIGN, 00H
52
    JZ  MAIN
53
    CMP SIGN, 02H
54
    JZ  B2
55
B1:
56
    MOV DX, P8255B
57
    IN  AL, DX
58
    CMP AL, 01H
59
    JZ  BACK
60
    ROR AL, 1
61
    CALL DELAY
62
    OUT DX, AL
63
    JMP MAIN
64
B2:
65
    MOV DX, P8255B
66
    IN  AL, DX
67
    CMP AL, 80H
68
    JZ  BACK
69
    ROL AL, 1
70
    CALL DELAY
71
    OUT DX,AL
72
    JMP MAIN
73
BACK:
74
    MOV SIGN, 00H
75
    JMP MAIN
76

77
MIR6:
78
    MOV SIGN, 01H
79
    IRET
80
MIR7:
81
    MOV SIGN, 02H
82
    IRET
83

84
DELAY:
85
    PUSH CX
86
    MOV CX, 0FFFFH
87
    LOOP $
88
    POP CX
89
    RET
90

91
CODE ENDS
92
     END START

展开收起

2. 中断嵌套（IR6可打断IR7）#

1
P8255A EQU 0640H
2
P8255B EQU 0642H
3
P8255C EQU 0646H
4
P8255MODE EQU 0646H
5

6
CODE SEGMENT
7
    ASSUME CS:CODE
8
START:
9
    MOV AX, 0000H
10
    MOV DS, AX
11
    MOV DX, P8255MODE
12
    MOV AL, 80H
13
    OUT DX, AL
14
    MOV DX, P8255B
15
    MOV AL, 80H
16
    OUT DX, AL
17

18
    LEA AX, MIR6
19
    MOV SI, 38H
20
    MOV [ES:SI], AX
21
    MOV AX, CS
22
    MOV SI, 3AH
23
    MOV [ES:SI], AX
24

25
    LEA AX, MIR7
26
    MOV SI, 3CH
27
    MOV [ES:SI], AX
28
    MOV AX, CS
29
    MOV SI, 3EH
30
    MOV [ES:SI], AX
31

32
    CLI
33
    MOV AL, 11H            ;ICW1
34
    OUT 20H, AL
35
    MOV AL, 08H            ;ICW2
36
    OUT 21H, AL
37
    MOV AL, 04H            ;ICW3
38
    OUT 21H, AL
39
    MOV AL, 07HB           ;ICW4
40
    OUT 21H, AL
41
    MOV AL, 2FH            ;OCW1
42
    OUT 21H, AL
43
    STI
44
MAIN:
45
    JMP MAIN
46

47
MIR6:
48
    STI
49
    PUSH AX
50
AA1:
51
    MOV DX, P8255B
52
    IN  AL, DX
53
    CMP AL, 01H
54
    JZ  EXIT6
55
    ROR AL, 1
56
    CALL DELAY
57
    OUT DX, AL
58
    JMP AA1
59
EXIT6:
60
    POP AX
61
    IRET
62

63
MIR7:
64
    STI
65
    PUSH AX
66
AA2:
67
    MOV DX, P8255B
68
    IN  AL, DX
69
    CMP AL, 80H
70
    JZ  EXIT7
71

72
    ROL AL, 1
73
    CALL DELAY
74
    OUT DX, AL
75
    JMP AA2
76
EXIT7:
77
    POP AX
78
    IRET
79

80
DELAY:
81
    MOV CX, 0FFFFH
82
    LOOP $
83
    RET
84
CODE ENDS
85
     END START

展开收起

实验一 8255并行接口实验

Fri, 11 Nov 2022 00:00:00 GMT

实验一 8255并行接口实验#

1. 实验内容#

基础部分
编写一个基本输入输出程序，使8255的A口为输入，B口为输出，完成拨动开关到数据灯的数据传输。要求：数据灯的显示随开关动态变化。
拓展部分
在基础实验上增加如下功能：

若开关 K7~K0 均为高电平，则程序退出。
- 当 K0 为高电平时，数据灯高4位亮；
- 当 K0 为低电平时，数据灯低4位亮。
- 当 K1K0=00 时，数据灯全部熄灭；
- 当 K1K0=01 时，数据灯低4位亮；
- 当 K1K0=10 时，数据灯高4位亮；
- 当 K1K0=11 时，数据灯全亮。

2. 注意事项#

连线时注意与输入输出接口地址相对应

信号线

编址空间

主片8259

20H、21H

从片8259

A0H、A1H

扩展I/O接口

IOY0

0600H~063FH

IOY1

0640H~067FH

IOY2

0680H~06BFH

IOY3

06C0H~06FFH

8255芯片控制字：

8255控制字格式

3. 连线#

机箱连线

4. 实验代码#

基础实验：#

1
;IOY1 —— 0640H
2
P8255A EQU 0640H
3
P8255B EQU 0642H
4
P8255C EQU 0644H
5
P8255MODE EQU 0646H
6

7
CODE    SEGMENT
8
        ASSUME CS:CODE
9
START:
10
        MOV DX, P8255MODE
11
        MOV AL, 90H        ;初始化8255：A口输入，B口输出
12
        OUT DX, AL
13
MAIN:
14
        MOV DX, P8255A     ;A口读开关状态
15
        IN  AL, DX
16
        MOV DX, P8255B     ;B口送LED状态
17
        OUT DX, AL
18
        JMP MAIN
19
CODE    ENDS
20
        END START

展开收起

扩展实验：#

1.#

1
P8255A EQU 0640H
2
P8255B EQU 0642H
3
P8255C EQU 0644H
4
P8255MODE EQU 0646H
5

6
CODE    SEGMENT
7
        ASSUME CS:CODE
8
START:
9
        MOV DX, P8255MODE
10
        MOV AL, 90H                ;初始化8255：A口输入，B口输出
11
        OUT DX, AL
12
MAIN:
13
        MOV DX, P8255A             ;A口读开关状态
14
        IN  AL, DX
15
        CMP AL, 0FFH               ;判断是否开关全部为高
16
        JZ EXIT                    ;若是，退出程序
17
        MOV DX, P8255B             ;B口送LED状态
18
        OUT DX, AL
19
        JMP MAIN
20
EXIT:
21
        MOV AH,4CH
22
        INT 21H
23
CODE    ENDS
24
        END START

展开收起

2.#

1
P8255A EQU 0640H
2
P8255B EQU 0642H
3
P8255C EQU 0644H
4
P8255MODE EQU 0646H
5

6
CODE    SEGMENT
7
        ASSUME CS:CODE
8
START:
9
        MOV DX, P8255MODE
10
        MOV AL, 90H                ;初始化8255：A口输入，B口输出
11
        OUT DX, AL
12
MAIN:
13
        MOV DX, P8255A             ;A口读开关状态
14
        IN  AL, DX
15
        CMP AL, 0FFH               ;判断是否开关全部为高
16
        JZ EXIT                    ;若是，退出程序
17
        AND AL, 01H                ;取低位
18
        CMP AL, 01H
19
        JNZ L1                     ;若K0未打开，点亮低四位
20
        MOV AL, 0F0H               ;否则，点亮高四位
21
        JMP OUTPUT
22
L1:
23
        MOV AL, 0FH                ;点亮低四位
24
OUTPUT:
25
        MOV DX, P8255B             ;B口送LED状态
26
        OUT DX, AL
27
        JMP MAIN
28
EXIT:
29
        MOV AH,4CH
30
        INT 21H
31
CODE    ENDS
32
        END START

展开收起

3.#

1
P8255A EQU 0640H
2
P8255B EQU 0642H
3
P8255C EQU 0644H
4
P8255MODE EQU 0646H
5

6
CODE    SEGMENT
7
        ASSUME CS:CODE
8
START:
9
        MOV DX, P8255MODE
10
        MOV AL, 90H                ;初始化8255：A口输入，B口输出
11
        OUT DX, AL
12
MAIN:
13
        MOV DX, P8255A             ;A口读开关状态
14
        IN  AL, DX
15
        CMP AL, 0FFH               ;判断是否开关全部为高
16
        JZ EXIT                    ;若是，退出程序
17
        AND AL, 03H                ;取低2位
18
        CMP AL, 0H
19
        JNZ L1                     ;非00
20
        MOV AL, 00H                ;00：全灭
21
        JMP OUTPUT
22
L1:
23
        CMP AL, 1H
24
        JNZ L2                     ;非01
25
        MOV AL, 0FH                ;01：点亮低四位
26
        JMP OUTPUT
27
L2:
28
        CMP AL, 2H
29
        JNZ L3                     ;非11
30
        MOV AL, 0F0H               ;01：点亮高四位
31
        JMP OUTPUT
32
L2:
33
        MOV AL, 0FFH               ;11：全部点亮
34
OUTPUT:
35
        MOV DX, P8255B             ;B口送LED状态
36
        OUT DX, AL
37
        JMP MAIN
38
EXIT:
39
        MOV AH,4CH
40
        INT 21H
41
CODE    ENDS
42
        END START

展开收起

另一种实现方法：

1
P8255A EQU 0640H
2
P8255B EQU 0642H
3
P8255C EQU 0644H
4
P8255MODE EQU 0646H
5

6
CODE    SEGMENT
7
        ASSUME CS:CODE
8
START:
9
        MOV DX, P8255MODE
10
        MOV AL, 90H                ;初始化8255：A口输入，B口输出
11
        OUT DX, AL
12
MAIN:
13
        MOV BL, 00H
14
        MOV DX, P8255A             ;A口读开关状态
15
        IN  AL, DX
16
        CMP AL, 0FFH               ;判断是否开关全部为高
17
        JZ EXIT                    ;若是，退出程序
18
        PUSH AX                    ;保存状态
19
LOWL:
20
        AND AL, 01H                ;检测K0
21
        JZ HIGHL                   ;K0=0
22
        OR BL, 0FH                 ;点亮低4位
23
HIGHL:
24
        AND AL, 02H                ;检测K1
25
        JZ OUTPUT                  ;K1=0
26
        OR BL, 0F0H                ;点亮高4位
27
OUTPUT:
28
        MOV AL, BL
29
        MOV DX, P8255B             ;B口送LED状态
30
        OUT DX, AL
31
        JMP MAIN
32
EXIT:
33
        MOV AH,4CH
34
        INT 21H
35
CODE    ENDS
36
        END START

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实验二存储器扩展实验

Fri, 11 Nov 2022 00:00:00 GMT

实验二存储器扩展实验#

1. 实验内容#

基础部分

编写实验程序，将 0000H～000FH（16个十六位的数据）写入SRAM从 8000:0000H 起始的一段空间中，并通过系统命令查看该存储空间，检查写入数据是否正确。
要求：分别按规则字、非规则字和字节三种方式将数据写入存储器，并观察实验结果。

拓展部分

编写程序实现如下功能：

当 K1K0=00 时，按规则字将 0000H~000FH 写入 8000:0000H 开始的16个字中；
当 K1K0=01 时，按非规则字将 0000H~000FH 写入 8000:0000H 开始的16个字中；
当 K1K0=10 时，按字节将 0000H~000FH 写入 8000:0000H 开始的16个字中；
当 K1K0=11 时，退出程序

2. 注意事项：#

写规则字（左）和非规则字（右）简单时序图

3. 连线#

机箱连线

8255连线见实验一

4. 实验代码#

基础实验：#

（见扩展实验）

扩展实验：#

1
P8255A EQU 0640H
2
P8255B EQU 0642H
3
P8255C EQU 0646H
4
P8255MODE EQU 0646H
5
CODE    SEGMENT
6
        ASSUME CS:CODE
7
START:
8
        MOV DX, P8255MODE
9
        MOV AL, 90H              ;初始化A口读入，B口输出
10
        OUT DX, AL
11
        MOV AX, 8000H
12
        MOV DS, AX
13
MAIN:
14
        MOV DX, P8255A
15
        IN  AL, DX               ;A口读开关状态
16
        AND AL, 03H
17
        JZ  A1                   ;00 --- 按规则字
18
        SUB AL, 1
19
        JZ  A2                   ;01 --- 按非规则字
20
        SUB AL, 1
21
        JZ  A3                   ;10 --- 按字节
22
        SUB AL, 1
23
        JZ  EXIT                 ;11 --- 退出程序
24
A1:
25
        MOV SI, 0000H
26
        MOV CX, 0010H
27
        MOV AX, 0000H
28
AA1:
29
        MOV [SI], AX
30
        INC AX
31
        INC SI
32
        INC SI
33
        LOOP AA1
34
        JMP MAIN
35
A2:
36
        MOV SI, 0000H
37
        MOV CX, 000FH
38
        MOV AX, 0100H
39
        MOV [SI], 00H
40
        INC SI
41
AA2:
42
        MOV [SI], AX
43
        INC AH
44
        INC SI
45
        INC SI
46
        LOOP AA2
47
        MOV [SI], 00H
48
        JMP MAIN
49
A3:
50
        MOV SI, 0000H
51
        MOV CX, 0010H
52
        MOV AX, 0000H
53
AA3:
54
        MOV [SI], AL
55
        INC AL
56
        INC SI
57
        MOV [SI], 00H
58
        INC SI
59
        LOOP AA3
60
        JMP MAIN
61
EXIT:
62
        MOV AH, 4CH
63
        INT 21H
64
CODE    ENDS
65
        END START

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数字组成的奥妙——数位dp

Thu, 10 Nov 2022 00:00:00 GMT

【序】#

数位dp就是套模板 ——lwz dalao

（数位dp确实可以套模板，但笔者建议还是要理解这个过程，这样才能灵活变化）

【引言】#

数位dp一直以来是dp家族里比较冷门的一种，但一旦考察不会数位dp靠暴力很难骗到 O(r−l)O(r-l)O(r−l) 以外的分

今天我们就来分析一下数位dp的全过程

【引入】#

首先我们要清楚数位dp解决的是什么问题：

求出在给定区间 [A,B][A,B][A,B] 内，符合条件 f(i)f(i)f(i) 的数 iii 的个数。条件 f(i)f(i)f(i) 一般与数的大小无关，而与数的组成有关

由于数是按位dp，数的大小对复杂度的影响很小

【设计搜索】#

这里我们使用记忆化搜索实现数位dp。本质上记搜其实就是dp，下文会重点介绍dp值的使用和记录

一、记搜过程#

从起点向下搜索，到最底层得到方案数，一层一层向上返回答案并累加，最后从搜索起点得到最终答案。

对于[l,r][l,r][l,r]区间问题，我们一般把他转化为两次数位dp,即找[0,r][0,r][0,r]和[0,l−1][0,l-1][0,l−1]两段，再将结果相减就得到了我们需要的[l,r][l,r][l,r]

二、状态设计#

如果理解了上述过程，我们需要考虑的就是怎样判断现在在哪一层，怎样判断当前的状态——这就需要我们传进一些参量。

dfs\text{dfs}dfs函数需要哪些参量？

首先是数位dp基本的量数字位数pospospos，记录答案的ststst，最高位限制limitlimitlimit（这个后面会讲）
我们还需要一个判断判断前导0的标记leadleadlead（这个后面也会讲）
由于数位dp解决的大多是数字组成问题，所以经常要比较当前位和前一位或前几位的关系（根据题意而定），所以一般在dfs()中也要记录前一位或前几位数preprepre方便比较。
除此之外还可以传进更多参量以区分状态，视题意而定。

数位dp的状态能记录的最好都记录上 ——lwz dalao

【细节分析】#

一、前导0标记lead\text{lead}lead#

由于我们要搜的数可能很长，所以我们的直接最高位搜起

举个例子：假如我们要从[0,1000][0,1000][0,1000]找任意相邻两数相等的数

显然111,222,888111,222,888111,222,888等等是符合题意的数

但是我们发现右端点100010001000是四位数

因此我们搜索的起点是000000000000，而三位数的记录都是0111,0222,08880111,0222,08880111,0222,0888等等

而这种情况下如果我们直接找相邻位相等则000000000000符合题意而0111,0222,08880111,0222,08880111,0222,0888都不符合题意了

所以我们要加一个前导0标记

如果当前位lead=1lead=1lead=1而且当前位也是0，那么当前位也是前导0，pos+1pos+1pos+1继续搜；
如果当前位lead=1lead=1lead=1但当前位不是0，则本位作为当前数的最高位，pos+1pos+1pos+1继续搜；（注意这次根据题意st或其他参数可能发生变化）

当然前导000有时候是不需要判断的，上述的例子是一个有关数字结构上的性质，0会影响数字的结构，所以必须判断前导0；而如果我们研究的是数字的组成（例如这个数字有多少个111之类的问题），0并不影响我们的判断，这样就不需要前导0标记了。总之，这个因题而异，并不是必须要标记（当然记了肯定是不会出错的）

二、最高位标记limit\text{limit}limit#

我们知道在搜索的数位搜索范围可能发生变化；

举个例子：我们在搜索[0,555][0,555][0,555]的数时，显然最高位搜索范围是000~555，而后面的位数的取值范围会根据上一位发生变化：

当最高位是111~444时，第二位取值为[0,9][0,9][0,9];
当最高位是555时，第二位取值为[0,5][0,5][0,5]（再往上取就超出右端点范围了）

为了分清这两种情况，我们引入了limit\text{limit}limit标记：

若当前位limit=1limit=1limit=1而且已经取到了能取到的最高位时，下一位limit=1limit=1limit=1；
若当前位limit=1limit=1limit=1但是没有取到能取到的最高位时，下一位limit=0limit=0limit=0；
若当前位limit=0limit=0limit=0时，下一位limit=0limit=0limit=0。

我们设这一位的标记为limitlimitlimit，这一位能取到的最大值为resresres，则下一位的标记就是i==resi==resi==res&&limitlimitlimit（iii枚举这一位填的数）

三、dp\text{dp}dp值的记录和使用#

最后我们考虑dp数组下标记录的值

本文介绍数位dp是在记忆化搜索的框架下进行的，每当找到一种情况我们就可以这种情况记录下来，等到搜到后面遇到相同的情况时直接使用当前记录的值。

dp数组的下标表示的是一种状态，只要当前的状态和之前搜过的某个状态完全一样，我们就可以直接返回原来已经记录下来的dp值。

再举个例子

假如我们找[0,123456][0,123456][0,123456]中符合某些条件的数

假如当我们搜到1000??1000??1000??时，dfs从下返上来的数值就是当前位是第555位，前一位是000时的方案种数，搜完这位会向上反，这是我们可以记录一下：当前位第555位，前一位是000时，有这么多种方案种数

当我们继续搜到1010??1010??1010??时，我们发现当前状态又是搜到了第555位，并且上一位也是000，这与我们之前记录的情况相同，这样我们就可以不继续向下搜，直接把上次的dp值返回就行了。

注意，我们返回的dp值必须和当前处于完全一样的状态，这就是为什么dp数组下标要记录pos,prepos,prepos,pre等参量了。

最重要的来了————————————————————

接着上面的例子，范围[0,123456][0,123456][0,123456]

如果我们搜到了1234??1234??1234??，我们能不能直接返回之前记录的：当前第555位，前一位是444时的dp值？

答案是否定的

我们发现，这个状态的dp值被记录时，当前位也就是第555位的取值是[0,9][0,9][0,9]，而这次当前位的取值是[0,5][0,5][0,5]，方案数一定比之前记录的dp值要小。

当前位的取值范围为什么会和原来不一样呢？

如果你联想到了之前所讲的知识，你会发现：现在的limit=1limit=1limit=1，最高位有取值的限制。

因此我们可以得到一个结论：当limit=1limit=1limit=1时，不能记录和取用dp值！

类似上述的分析过程，我们也可以得出：当lead=1lead=1lead=1时，也不能记录和取用dp值！

p.s.当然没有这么绝对的说……因题而异的说……

以上就是计划搜索的完整步骤。

附图：

【模板】#

1
ll dfs(int pos,int pre,int st,……,int lead,int limit)//记搜
2
{
3
    if(pos>len) return st;//剪枝
4
    if((dp[pos][pre][st]……[……]!=-1&&(!limit)&&(!lead))) return dp[pos][pre][st]……[……];//记录当前值
5
    ll ret=0;//暂时记录当前方案数
6
    int res=limit?a[len-pos+1]:9;//res当前位能取到的最大值
7
    for(int i=0;i<=res;i++)
8
    {
9
        //有前导0并且当前位也是前导0
10
        if((!i)&&lead) ret+=dfs(……,……,……,i==res&&limit);
11
        //有前导0但当前位不是前导0，当前位就是最高位
12
        else if(i&&lead) ret+=dfs(……,……,……,i==res&&limit);
13
        else if(根据题意而定的判断) ret+=dfs(……,……,……,i==res&&limit);
14
    }
15
    if(!limit&&!lead) dp[pos][pre][st]……[……]=ret;//当前状态方案数记录
16
    return ret;
17
}
18
ll part(ll x)//把数按位拆分
19
{
20
    len=0;
21
    while(x) a[++len]=x%10,x/=10;
22
    memset(dp,-1,sizeof dp);//初始化-1（因为有可能某些情况下的方案数是0）
23
    return dfs(……,……,……,……);//进入记搜
24
}
25
int main()
26
{
27
    scanf("%d",&T);
28
    while(T--)
29
    {
30
        scanf("%lld%lld",&l,&r);
31
        if(l) printf("%lld",part(r)-part(l-1));//[l,r](l!=0)
32
        else printf("%lld",part(r)-part(l));//从0开始要特判
33
    }
34
    return 0;
35
}

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【例题详解】#

注：推荐此题的原因是这道题涉及到的需要记录的量较多，比较典型，如果觉得比较难理解也没关系，先看下面的例题推荐

【题意简述】

定义一个正整数的价值是把这个数的十进制写出来之后，最长的等差子串的长度。

求[l,r][l,r][l,r]范围内数字价值的总和。

【分析】

这道题很显然是一道数位dp，那么我们应该怎么样设计状态和转移呢？

数位位置，前一位数，等差数列共差是一定要记录的

我们还要把当前最大价值和整个数最大值也作为状态

dp过程见代码注释（数位dp主要还是套板子呀）

1
#include<bits/stdc++.h>
2
using namespace std;
3
typedef long long ll;
4
int T,n,m,len,a[20];
5
ll l,r,dp[20][15][25][25][20];
6
ll dfs(int pos,int pre,ll st,ll sum,int d,int lead,int limit)
7
//pos搜到的位置
8
//pre前一位数
9
//st当前公差最大差值
10
//sum整个数字的最大价值
11
//d共差
12
//lead判断是否有前导0
13
//limit判断是否有最高位限制
14
{
15
    if(pos>len) return sum;//dp结束
16
    //记录状态（计划搜索）
17
    //注意d有负数，最小可以到-9，所以记录时数组下标是d+10
18
    if((dp[pos][pre][st][sum][d+10]!=-1&&(!limit)&&(!lead))) return dp[pos][pre][st][sum][d+10];
19
    ll ret=0;
20
    int res=limit?a[len-pos+1]:9;//最高位最大值
21
    for(int i=0;i<=res;i++)
22
    {
23
        //有前导0且这位也是前导0，一切不变只有位数变化
24
        if((!i)&&lead) ret+=dfs(pos+1,0,0,0,-38,1,limit&&(i==res));
25
        //有前导0但这位不是前导0（这位是数字的最高位）开始有前一位，一个数形成等差数列
26
        else if(i&&lead) ret+=dfs(pos+1,i,1,1,-38,0,limit&&(i==res));
27
        //之前刚搜到1位还没有共差，两位数形成等差数列，记录共差
28
        else if(d<-9) ret+=dfs(pos+1,i,2ll,2ll,i-pre,0,limit&&(i==res));
29
        //搜到2位以后，共差若与前两位相同当前等差数列长度增加，若公差变化则更新整个数字的最大价值，等差数列长度又变为2
30
        else if(d>=-9) ret+=dfs(pos+1,i,(i-pre==d)?st+1:2,max(sum,(i-pre==d)?st+1:2),(i-pre==d)?d:i-pre,0,limit&&(i==res));
31
    }
32
    //没有前导0和最高限制时可以直接记录当前dp值以便下次搜到同样的情况可以直接使用。
33
    return (!limit&&!lead)?dp[pos][pre][st][sum][d+10]=ret:ret;
34
}
35
ll part(ll x)
36
{
37
    len=0;
38
    while(x) a[++len]=x%10,x/=10;
39
    memset(dp,-1,sizeof dp);
40
    return dfs(1,0,0,0,-38,1,1);//-38是随便赋的其实赋成-10就行了……
41
}
42
int main()
43
{
44
    scanf("%d",&T);
45
    while(T--)
46
    {
47
        scanf("%lld%lld",&l,&r);
48
        //l是0的时候要特别注意！
49
        printf("%lld\n",l?(part(r)-part(l-1)):(part(r)-part(l)+1));
50
    }
51
    return 0;
52
}

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【题目推荐】#

[HDU2089]不要62

入门题，如果上面的例题没看懂可以先尝试一下这道题，如果上面的例题理解了这题可以秒切
P2657 [SCOI2009]windy数
P2602 [ZJOI2010]数字计数

这两题是数位dp题目里的基础题，多体会上述的讲解就能够顺利地想出解法~~（实在不行还可以背板子的吧）~~
P3413 萌数

这道题是笔者接触数位dp的第一题，当时学长讲完之后还有点懵，现在发现不是特别难的题目，还是比较套路的
P4127 [AHOI2009]同类分布
P4317 花神的数论题

相比前面，这道题就显得灵活一些，可能在统计答案的方法上有一些变化，但相信当你做完上面的题之后，这两道题也不在话下！

当然也有些题看起来不是数位dp，但是可能依靠一些数论知识把问题转化成一道数位dp题（比如一些数字本身的性质转化成数字组成的特点），这里就不再过多赘述。

【后记】#

数位dp虽然大多在套模板，但是里面的判断和细节还是很多的，多写几道数位dp之后才能发现其中的规律，完全将其掌握。

【特别鸣谢】#

本文是笔者听过了两位dalao的讲解后撰写而成

初识数位dp：学长Vergil 【LVYOUYW】

知识巩固：dalao lwz 【lwz2002】

Mathison's Blog

CCF CCSP2023游记

CCF CCSP2023游记#

序#

题目#

T1 装修（decorate）#

T2 摸球（ball）#

T3 次元波动平衡（surge）#

比赛心路历程#

后记#

题解#

test

基础算法模版

基础算法模板#

1 基础算法#

1.1 归并排序#

1.2 快速排序#

1.3 二分#

1.4 前缀和 & 差分#

1.5 有序数组定位#

1.5.1 lower_bound & upper_bound#

1.5.2 离散化#

1.6 位运算#

1.6.1 数字二进制位数#

1.6.2 数字二进制中’1’的个数#

1.6.3 二进制枚举#

1.7 高精度#

1.8 KMP#

1.9 Hash#

1.9.1 拉链法#

1.9.2 开放寻址法（线性探查法）#

1.9.3 字符串Hash#

1.10 快速乘 快速幂#

2 基础数据结构#

2.1 单链表#

2.2 双链表#

2.3 栈#

2.3.1 模拟栈#

2.3.2 STL stack#

2.3.3* 单调栈#

2.4 队列#

2.4.1 模拟队列#

2.4.2 STL queue/deque#

2.4.3 单调队列#

2.4.4 优先队列#

2.5 堆#

2.5.1 模拟堆#

2.5.2 STL priority_queue#

2.5.3 堆排序#

2.6 并查集#

2.7 邻接表（前向星）#

2.8 Trie字典树#

2.9 哈夫曼树（Huffman）#

2.10* ST表#

3 基础搜索#

3.1 DFS#

3.2 BFS#

3.3 常用搜索剪枝方法#

4 基础图论#

4.1 拓扑排序#

4.2 Dijkstra 单源最短路#

4.3 SPFA#

4.3.1 最短路#

4.3.2 负环问题#

4.3.3 Bellman-Ford 边数限制最短路#

4.4 Floyd 最短路#

4.5 最小生成树#

4.5.1 Kruskal#

4.5.2 Prim#

4.6 二分图#

4.6.1 二分图判定（染色法）#

4.6.2 二分图匹配（匈牙利算法）#

4.7 LCA（最近公共祖先）#

5 基础数学#

5.1 质数#

5.1.1 试除法判质数#

5.1.2 线性筛素数#

5.1.3 分解质因数#

5.1.4* 短区间二次筛法#

5.2 约数#

1.10 快速乘快速幂#

实验九键盘扫描及数码管显示实验

实验九键盘扫描及数码管显示实验#

实验八数码管显示实验

实验八数码管显示实验#